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mathematischer Satz Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Der Satz von Krein-Milman[1] (nach Mark Grigorjewitsch Krein und David Milman) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis.
Ist ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum und darin eine nichtleere, kompakte und konvexe Teilmenge, so besitzt Extremalpunkte und ist dabei gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle der Menge all dieser Extremalpunkte.[2]
Der Beweis des Krein-Milman’schen Satzes basiert auf dem Lemma von Zorn (oder einem gleichwertigen Maximalprinzip der Mengenlehre) und dem Satz von Hahn-Banach und setzt damit die Gültigkeit des Auswahlaxioms voraus.[3][4]
Der Krein-Milman’sche Satz hat eine teilweise Umkehrung, die in der Regel als Satz von Milman bezeichnet wird:[5] Ist eine kompakte, konvexe Menge und ist so beschaffen, dass gleich der abgeschlossenen konvexen Hülle von ist, so sind im topologischen Abschluss von alle Extremalpunkte von enthalten.[6]
Eine Verschärfung des Satzes von Krein-Milman ist der Satz von Choquet. Noch erheblich mehr gilt in endlich-dimensionalen und insbesondere euklidischen Räumen, wo mit dem Satz von Minkowski und dem Satz von Carathéodory noch wesentlich schärfere Aussagen vorliegen.
Mit dem Satz von Krein-Milman eng verwandt sind der Satz von Straszewicz sowie der Satz von Klee-Straszewicz, bei denen die Menge der exponierten Punkte an die Stelle der Menge der Extremalpunkte tritt.
Der Banachraum der reellen oder komplexen Nullfolgen mit der Supremumsnorm ist kein Dualraum.
Wäre er ein Dualraum, so wäre die Einheitskugel nach dem Satz von Banach-Alaoglu kompakt in der schwach-*-Topologie, hätte also nach obigem Satz von Krein-Milman Extremalpunkte. Ist aber ein beliebiger Punkt aus der Einheitskugel, so gibt es einen Index mit , denn die Folge konvergiert gegen 0. Ist nun definiert durch für und , so sind und und , das heißt, der beliebig vorgegebene Punkt der Einheitskugel ist kein Extremalpunkt. Also hat die Einheitskugel von keine Extremalpunkte und kann daher kein Dualraum sein.
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