Satz von Forster-Swan

Der Satz von Forster-Swan ist ein Resultat aus der kommutativen Algebra, welches eine obere Schranke für die minimale Anzahl der Erzeuger eines endlich erzeugten Moduls ${\displaystyle M}$ über einem kommutativen noetherschen Ring angibt. Das Besondere an der Aussage liegt darin, dass man, um die Schranke zu bilden, nur die minimale Anzahl der Erzeuger aller Lokalisierungen ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$ benötigt, was in der Regel viel einfacher zu berechnen ist.

Der Satz wurde 1964^[1] in einer restriktiveren Form von Otto Forster bewiesen und schließlich 1967^[2] von Richard G. Swan verallgemeinert.

Satz von Forster-Swan

Sei

• ${\displaystyle R}$ ein kommutativer noetherscher Ring mit Einselement,
• ${\displaystyle M}$ ein endlich-erzeugter ${\displaystyle R}$-Modul,
• ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ein Primideal von ${\displaystyle R}$.
• ${\displaystyle \mu (M),\mu _{\mathfrak {p}}(M)}$ sind die minimale Anzahl an Erzeugern um den ${\displaystyle R}$-Modul ${\displaystyle M}$ resp. den ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$-Modul ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}}$ zu erzeugen.

Um ${\displaystyle \mu _{\mathfrak {p}}(M)}$ zu berechnen, genügt es nach dem Lemma von Nakayama, die Dimension des Raumes ${\displaystyle M_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}M}$ über dem Körper ${\displaystyle k({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$ zu berechnen, das heißt

${\displaystyle \mu _{\mathfrak {p}}(M)=\operatorname {dim} _{k({\mathfrak {p}})}(M_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}M).}$

Aussage

Definiere die lokale ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-Schranke

${\displaystyle b_{\mathfrak {p}}(M):=\mu _{\mathfrak {p}}(M)+\operatorname {dim} (R/{\mathfrak {p}}),}$

dann gilt^[3]

${\displaystyle \mu (M)\leq \sup _{\mathfrak {p}}\;\{b_{\mathfrak {p}}(M)\;|\;{\mathfrak {p}}\;{\text{ist prim}},\;M_{\mathfrak {p}}\neq 0\}.}$

Literatur

• R. A. Rao und F. Ischebeck: Ideals and Reality: Projective Modules and Number of Generators of Ideals. Hrsg.: Physica-Verlag. Deutschland 2005.
• R.G. Swan: The number of generators of a module. In: Math. Mathematische Zeitschrift. Band 102, 1967, S. 318–322 (eudml.org).

Einzelnachweise

1. Otto Forster: Über die Anzahl der Erzeugenden eines Ideals in einem Noetherschen Ring. In: Mathematische Zeitschrift. Band 84, 1964, S. 80–87, doi:10.1007/BF01112211.
2. R.G. Swan: The number of generators of a module. In: Math. Mathematische Zeitschrift. Band 102, 1967, S. 318–322 (eudml.org).
3. R. A. Rao und F. Ischebeck: Ideals and Reality: Projective Modules and Number of Generators of Ideals. Hrsg.: Physica-Verlag. Deutschland 2005, S. 221.