Rollkurve

Rollkurve ist ein mathematischer Begriff, der bestimmte Arten geometrischer Kurven umfasst. In der älteren Literatur findet man auch die Bezeichnung Roulette.^[1] Der Begriff wird nicht einheitlich verwendet.

Rollkurve im engeren Sinn

Zu einer gegebenen Kurve (Leitkurve) wird ein Kreis (Gangkreis) betrachtet, der auf der Leitkurve abrollt, ohne zu gleiten. Die Spur eines Punktes (erzeugender Punkt), der mit dem Gangkreis mitrotiert, ergibt dann eine Rollkurve. In vielen Fällen liegt der erzeugende Punkt auf dem Rand des Gangkreises, er kann sich aber auch im Inneren oder im Äußeren des Gangkreises befinden. Der Kreismittelpunkt wird oft als erzeugender Punkt ausgeschlossen, da dieser Fall meist zu uninteressanten Ergebnissen führt.

Für die verschiedenen Rollkurven gibt es unterschiedliche Bezeichnungen:

Leitkurve	Bezeichnungen	Grafik
Gerade	Trochoide, Spezialfall Zykloide	Ein Punkt auf einem rollenden Kreis zeichnet eine Zykloide
Kreis (Abrollen außen)	Epitrochoide, Spezialfall Epizykloide	Epizykloide (rot)
Größerer Kreis (Abrollen innen)	Hypotrochoide, Spezialfall Hypozykloide	Hypozykloide (rot)
Kleinerer Kreis (Abrollen mit Innenseite)	Peritrochoide, Spezialfall Perizykloide	Perizykloide (rot)

Liegt der die Kurve erzeugende Punkt innerhalb des rollenden Kreises, so nennt man die Rollkurve „verkürzt“ oder „gestreckt“, liegt er außerhalb, „verlängert“ oder „verschlungen“.

Rollkurve im weiteren Sinn

Eine Parabel (grün) rollt auf einer kongruenten Parabel (blau), wobei diese fixiert bleibt. Der erzeugende Punkt ist der Scheitel der abrollenden Parabel und beschreibt die Rollkurve (rot gezeichnet). In diesem Fall ist die Rollkurve die Zissoide des Diokles. Grob gesagt, ist eine Rollkurve die Spur eines Punkts (Generator oder Pol), der an einer gegebenen Kurve befestigt ist, die wiederum auf einer weiteren, fixierten Kurve abrollt, ohne zu gleiten.

Gelegentlich werden auch Rollkurven betrachtet, bei denen eine beliebige Kurve (z. B. ein Kegelschnitt oder auch eine Gerade) auf einer Leitkurve abrollt.

Leitkurve	Rollende Kurve	Erzeugender Punkt	Rollkurve
Beliebige Kurve	Gerade	Punkt der Gerade	Involute der Kurve
Gerade	Beliebige Kurve	Beliebig	Zyklogon
Gerade	Kreis	Beliebig	Trochoide
Gerade	Kreis	Punkt auf dem Kreis	Zykloide
Gerade	Ellipse oder Hyperbel	Mittelpunkt	Sturmsche Roulette[2]
Gerade	Kegelschnitt	Brennpunkt	Delaunaysche Roulette[3]
Gerade	Parabel	Brennpunkt	Kettenlinie[4]
Gerade	Ellipse	Brennpunkt	Elliptische Kettenlinie[4]
Gerade	Hyperbel	Brennpunkt	Hyperbolische Kettenlinie[4]
Gerade	Gleichseitige Hyperbel	Mittelpunkt	Rectangular elastica[5]
Gerade	Epitrochoide oder Hypotrochoide	Mittelpunkt	Ellipse[6]
Kreis	Kreis	Beliebig	Epitrochoide oder Hypotrochoide[7]
Äußeres eines Kreises	Kreis	Beliebig	Epitrochoide
Äußeres eines Kreises	Kreis	Punkt auf dem Kreis	Epizykloide
Äußeres eines Kreises	Kreis mit gleichem Radius	Beliebig	Pascalsche Schnecke (Limaçon)
Äußeres eines Kreises	Kreis mit gleichem Radius	Punkt auf dem Kreis	Kardioide
Äußeres eines Kreises	Kreis mit dem halben Radius	Punkt auf dem Kreis	Nephroide
Inneres eines Kreises	Kreis	Beliebig	Hypotrochoide
Inneres eines Kreises	Kreis	Punkt auf dem Kreis	Hypozykloide
Inneres eines Kreises	Kreis mit gedritteltem Radius	Punkt auf dem Kreis	Deltoide
Inneres eines Kreises	Kreis mit gevierteltem Radius	Punkt auf dem Kreis	Astroide
Parabel	Kongruente Parabel	Scheitelpunkt	Zissoide des Diokles[8]

Einzelnachweise

1. Heinrich Wieleitner: Spezielle ebene Kurven. Hrsg.: G. J. Göschen. 1908, S. 169 (archive.org).
2. "Sturm's roulette" auf www.mathcurve.com
3. "Delaunay's roulette" auf www.mathcurve.com
4. "Delaunay's roulette" auf www.2dcurves.com
5. Alfred George Greenhill: The applications of elliptic functions. Macmillan, 1892, S. 88 (englisch, archive.org).
6. "Roulette with straight fixed curve" auf www.mathcurve.com
7. "Centered trochoid" auf mathcurve.com
8. "Cissoid" auf www.2dcurves.com

Weblinks

• Heinrich Wieleitner: Spezielle ebene Kurven. G. J. Göschen, Leipzig 1908 (Digitalisat im Internet Archive)