Hypozykloide

Die Hypozykloide ist die Bahn, die ein Punkt außerhalb des Mittelpunkts (i. d. R. auf dem Umfang) eines Kreises beschreibt, wenn dieser Kreis im Inneren eines anderen Kreises abrollt. Sie gehört damit zu den Rollkurven.

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Geschlossenheit

Eine Hypozykloide ist genau dann eine geschlossene Kurve, wenn das Längenverhältnis ${\displaystyle q}$ = ${\displaystyle {\tfrac {R}{r}}}$ der Radien rational ist und sich durch Kürzen als gekürzter Bruch ${\displaystyle {\tfrac {i_{R}}{i_{r}}}}$ aus den zwei ganzen Zahlen ${\displaystyle i_{R}}$ und ${\displaystyle i_{r}}$ schreiben lässt. Mathematisch ausgedrückt bedeutet das: ${\displaystyle i_{R}={\tfrac {R}{\operatorname {ggT} (i_{R},i_{r})}}}$ und ${\displaystyle i_{r}={\tfrac {r}{\operatorname {ggT} (i_{R},i_{r})}}}$. Dabei bezeichnet ${\displaystyle \operatorname {ggT} (i_{R},i_{r})}$ den größten gemeinsamen Teiler von ${\displaystyle i_{R}}$ und ${\displaystyle i_{r}}$. ${\displaystyle R}$ ist in diesem Bruch der Radius des stehenden „Rades“, und ${\displaystyle r}$ ist der Radius des laufenden „Rades“. Bei der technischen Umsetzung in Form von Zahnrädern ist die Anzahl der „Zähne“ maßgeblich, sodass sich stets geschlossene Kurven ergeben.

Anzahl der Spitzen

Die Anzahl der Spitzen der geschlossenen Hypozykloide ist identisch mit der ganzen Zahl ${\displaystyle i_{R}}$.

Anzahl an Umläufen

Die Anzahl an Umläufen des sich bewegenden „Rades“ während einer Periode ist ${\displaystyle i_{r}}$. In den Bildern wird für jeden Teil der Zykloide, der während eines Umlaufs des bewegten „Rades“ entsteht, eine andere Farbe verwendet.

• Umläufe und Spitzen der Hypozykloide
• 
  Hypozykloide q = 5/1
• 
  Hypozykloide q = 5/3
• 
  Hypozykloide q = 5/2
• 
  Hypozykloide q = 5/4

Spezielle Hypozykloiden

Für ganzzahlige Längenverhältnisse ${\displaystyle q}$ ergeben sich spezielle Hypozykloiden:

• Für ${\displaystyle q=2}$ (Cardanische Kreise) ergibt sich eine geradlinige Hypozykloide, deren sämtliche Punkte auf einem Durchmesser liegen.
• Für ${\displaystyle q=3}$ ergibt sich eine Deltoide (Hypozykloide mit 3 Spitzen)
• Für ${\displaystyle q=4}$ ergibt sich eine Astroide.

• Für ${\displaystyle q=2}$ und einem Punkt innerhalb des rollenden Kreises entsteht eine Ellipse.

• Spezielle Hypo- und Epizykloiden
• 
  Hypozykloide q = 2/1 (Cardanische Kreise)
• 
  Hypozykloide q = 3/1 (Deltoide)
• 
  Hypozykloide q = 4/1 (Astroide)
• 
  Ellipse als spezielle Hypozykloide bei q = 2