Retardiertes Potential

Das retardierte Potential (deutsch: verzögertes Potential) ist die Bezeichnung für die mathematische Form des Potentials in der elektromagnetischen Feldtheorie oder anderen Feldtheorien, in denen sich Änderungen des Feldes mit endlicher Geschwindigkeit (Lichtgeschwindigkeit) und nicht instantan ausbreiten. Es tritt bei der Untersuchung zeitabhängiger Probleme auf, zum Beispiel bei der Abstrahlung elektromagnetischer Wellen.

Dagegen werden in der Elektrostatik, der Magnetostatik und der Newtonschen Gravitationstheorie Zeitabhängigkeiten vernachlässigt.

Mathematische Formulierung

Mathematisch ist das Potential ${\displaystyle \,u(x,t)}$ die Lösung der (aus den Maxwellgleichungen folgenden) inhomogenen Wellengleichung in drei Raumdimensionen

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\sum _{i=1}^{3}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}\right)={\frac {1}{c^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u=\Box u(t,\mathbf {x} )=v(t,x_{1},x_{2},x_{3})}$,

wobei ${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}$ für den Laplace-Operator, ${\displaystyle \Box }$ für den D’Alembert-Operator, ${\displaystyle c}$ für die Wellengeschwindigkeit und auf der rechten Seite ${\displaystyle \,v(t,\mathbf {x} )}$ für einen Quellenterm stehen.

Die Lösung

${\displaystyle u_{\text{retardiert}}(t,\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int \!\mathrm {d} ^{3}y\,{\frac {v\left(t-{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}{c}},\mathbf {y} \right)}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}}$

heißt retardiertes Potential. Sie hängt am Ort ${\displaystyle \mathbf {x} }$ zur Zeit ${\displaystyle t}$ nur von der Inhomogenität ${\displaystyle v}$ auf dem Rückwärtslichtkegel von ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ab. Die Inhomogenität wirkt sich auf die Lösung verspätet (daher der Name) mit Lichtgeschwindigkeit aus.

Die Lösung

${\displaystyle u_{\text{avanciert}}(t,\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int \!\mathrm {d} ^{3}y\,{\frac {v\left(t+{\frac {|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}{c}},\mathbf {y} \right)}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}}$

heißt entsprechend avanciertes Potential. Dies beschreibt zum Beispiel eine Senke, die ein bestehendes Feld absorbiert.

Mit retardiertem und avanciertem Potential lassen sich somit Emission und Absorption von Feldern beschreiben.

Literatur

• Richard Courant und David Hilbert: Methoden der mathematischen Physik Band 2. zweite Auflage, Springer Verlag, 1968

Weblinks

• Norbert Dragon, Stichworte und Ergänzungen zu Rechenmethoden der Physik (PDF; 1,9 MB), Kapitel 18