Ramanujan-Vermutung

Im mathematischen Gebiet der Modulformen ist die Ramanujan-Vermutung eine von Ramanujan vermutete und von Deligne bewiesene Abschätzung für die Fourier-Koeffizienten der modularen Diskriminante, mit Anwendungen in Graphentheorie, Zahlentheorie, Darstellungstheorie und zahlreichen anderen Gebieten der Mathematik und Theoretischen Informatik. Es gibt auch Versionen für andere Modulformen (Ramanujan-Petersson-Vermutung).

Ramanujansche tau-Funktion

Die Dedekindsche η-Funktion wird für ${\displaystyle z\in {\mathbb {H} }=\left\{z\in \mathbb {C} \mid \mathrm {Im} \,z>0\right\}}$ als unendliches Produkt definiert:

${\displaystyle \eta (z):=e^{\pi iz/12}\prod _{n=1}^{\infty }(1-e^{2\pi inz})}$.

Ihre 24-te Potenz ist die Diskriminante

${\displaystyle \Delta (z)=\eta (z)^{24}}$.

Mit ${\displaystyle q=\exp(2\pi iz)}$ erhält man

${\displaystyle \Delta (z)=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}}$,

was man in eine Potenzreihe in ${\displaystyle q}$

${\displaystyle q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}=\sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}}$

entwickeln kann, deren Koeffizienten (die Fourierkoeffizienten in der q-Entwicklung) die Ramanujansche tau-Funktion

${\displaystyle \tau$ :\mathbb {N} \to \mathbb {Z} }

(Folge A000594 in OEIS) definieren.

Die ersten Werte sind:

${\displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
${\displaystyle \tau (n)}$	1	−24	252	−1472	4830	−6048	−16744	84480	−113643	−115920	534612	−370944	−577738	401856	1217160	987136

Ramanujan entdeckte viele arithmetische Eigenschaften der Tau-Funktion (wie Kongruenzen), die danach eine bedeutende Rolle in der Entwicklung der Theorie der Modulformen spielte (zum Beispiel in der Theorie der Hecke-Operatoren, wo die Werte der Tau-Funktion Eigenwerte der Hecke-Operatoren für die Diskriminante sind).

Ramanujan stellte 1916 mehrere Vermutungen über die Tau-Funktion auf, neben der unten erwähnten Ramanujan-Vermutung:

• ${\displaystyle \tau (mn)=\tau (m)\tau (n)}$ für ${\displaystyle \gcd(m,n)=1}$ (das heißt die Tau-Funktion ist eine multiplikative Funktion)
• ${\displaystyle \tau (p^{r+1})=\tau (p)\tau (p^{r})-p^{11}\tau (p^{r-1})}$ für eine Primzahl p und ${\displaystyle r>0}$

Diese wurden 1917 von Louis Mordell bewiesen (mit Methoden der Theorie der Modulfunktionen, die Ramanujan nicht zur Verfügung standen).^[1]

Für die Tau-Funktionswerte gibt es auch sehr elegante symmetrische Formen, die in Zusammenhang mit bestimmten Potenzen der Dedekindschen Eta-Funktion stehen, wie Freeman Dyson in den 1970er Jahren fand^[2], wobei die Potenzen, wie Ian G. Macdonald unabhängig um dieselbe Zeit fand, den Dimensionen endlich-dimensionaler einfacher Liealgebren entsprachen^[3]. Macdonald stellte Beziehungen zu affinen Wurzelsystemen von Liealgebren und klassischen Formeln von Hermann Weyl über Wurzelsysteme und Carl Gustav Jacobi (Jacobi-Tripelprodukt) her.

Eine der Formeln von Dyson lautet:

${\displaystyle \tau (n)={\frac {1}{1!\,2!\,3!\,4!}}\sum \prod _{i<j}(u_{i}-u_{j})}$

wobei die Summe über alle ganzen Zahlen ${\displaystyle u_{i}}$ (${\displaystyle i=1,...,5}$) ist mit ${\displaystyle u_{i}=i\,mod\,5}$, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{5}u_{i}=0}$, ${\displaystyle \sum _{i=1}^{5}u_{i}^{2}=10\,n}$.

Ramanujan-Vermutung

Die Ramanujan-Vermutung^[4] besagt, dass für alle Primzahlen ${\displaystyle p}$ die Ungleichung

${\displaystyle |\tau (p)|\leq 2p^{11/2}}$

und allgemeiner für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle n}$ die Ungleichung

${\displaystyle |\tau (n)|\leq d(n)n^{\frac {11}{2}}}$

gilt, wobei ${\displaystyle d(n)}$ die Anzahl der Teiler von ${\displaystyle n}$ bezeichnet. Sie wurde 1974 von Pierre Deligne als Konsequenz der von ihm bewiesenen Weil-Vermutungen bewiesen.^[5]

Eine analoge Vermutung für Spitzenformen (Gewicht k) zu Kongruenzuntergruppen der Modulgruppe stammt von Hans Petersson (1938) (Ramanujan-Petersson-Vermutung). Wie bei der Diskriminante (Gewicht k=12) ist der Exponent ${\displaystyle {\frac {k-1}{2}}}$, nur für allgemeine k:

${\displaystyle |\tau (p)|\leq 2p^{\frac {k-1}{2}}}$

Sie wurde ebenfalls von Deligne über die Weil-Vermutungen bewiesen. Es gibt auch Versionen für automorphe Formen im Langlands-Programm (Ilja Pjatetskij-Shapiro u. a.) und für Maass-Formen (unbewiesen).

Anwendungen

• Konstruktion von Ramanujan-Graphen: Lubotzky-Philips-Sarnak^[6] benutzten die Ramanujan-Vermutung um zu beweisen, dass gewisse Quotienten des p-adischen symmetrischen Raums ${\displaystyle PGL(2,\mathbb {Q} _{p})/PGL(2,\mathbb {Z} _{p})}$ Ramanujan-Graphen sind, also sehr gute Expander-Eigenschaften haben.
• Die Ramanujan-Vermutung kann umformuliert werden in eine Abschätzung der Eigenwerte von Hecke-Operatoren.
• Die Ramanujan-Vermutung kann umformuliert werden in eine Aussage über die zu ${\displaystyle \Delta }$ assoziierte automorphe Darstellung.

Trivia

Die Ramanujan-Vermutung war Teil des Logos des Internationalen Mathematikerkongresses 2010 in Hyderabad.

Literatur

• Alexander Lubotzky: Discrete groups, expanding graphs and invariant measures. With an appendix by Jonathan D. Rogawski. Progress in Mathematics, 125. Birkhäuser Verlag, Basel, 1994. ISBN 3-7643-5075-X
• Valentin Blomer, Farrell Brumley: The role of the Ramanujan conjecture in analytic number theory. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 50 (2013), no. 2, 267–320. online (pdf)
• Robert Alexander Rankin: Ramanujan's tau-function and its generalizations, in George E. Andrews (Hrsg.), Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Ill., 1987), Academic Press 1988, S. 245–268

Weblinks

• Brian Conrad: Modular forms, cohomology and the Ramanujan conjecture
• Tau-function, Mathworld

Einzelnachweise

1. Mordell, "On Mr. Ramanujan's empirical expansions of modular functions.", Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, Band 19, 1917, S. 117–124, archive
2. Unveröffentlicht, siehe Freeman Dyson, Missed opportunities, Bulletin AMS, Band 73, September 1972, S. 637. Die von Dyson aufgeführten Formeln waren nach Dyson teilweise von A. O. L. Atkin (nicht veröffentlicht), dem schwedischen Physiker Winquist, Jacobi, Felix Klein und Robert Fricke und anderen. Der Aufsatz handelte von vermissten Gelegenheiten der Kommunikation von Mathematik und Physik, in diesem Fall bei Dyson selbst, der den Zusammenhang mit Lie-Algebren nicht erkannte.
3. Ian Macdonald, Affine root systems and Dedekind ${\displaystyle \eta }$-function, Inventiones Mathematicae, Band 15, 1972, S. 91–143, SUB Göttingen. Eine Ausnahme bildete die Dimension d=26, für die nach Dyson keine solche Erklärung existiert.
4. S. Ramanujan: On certain arithmetical functions, Trans. Cambridge Phil. Soc. 22 (1916), 159–184.
5. Pierre Deligne: La conjecture de Weil. I, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 43 (1974), 273–307.
6. Alexander Lubotzky, Ralph Phillips, Peter Sarnak: Ramanujan graphs. Combinatorica 8 (1988), no. 3, 261–277.