Quanteninvariante

Im mathematischen Gebiet der Knotentheorie sind Quanteninvarianten Invarianten von Knoten, Verschlingungen und 3-Mannigfaltigkeiten, die mittels der Darstellungstheorie von Quantengruppen oder allgemeiner aus Lösungen der Yang-Baxter-Gleichung definiert werden.

Konstruktion via R-Matrizen

Gegeben seien eine R-Matrix ${\displaystyle R=(R_{kl}^{ij})_{i,j,k,l}\colon V\otimes V\to V\otimes V}$ und ein Isomorphismus ${\displaystyle \mu \colon V\to V}$, sowie eine Markow-Spur ${\displaystyle Tr}$.

Mittels der R-Matrix definiert man Darstellungen der Zopfgruppen ${\displaystyle B_{n}}$ durch

${\displaystyle \rho _{n}\colon B_{n}\to Aut(V^{\otimes n})}$

${\displaystyle \rho _{n}(\sigma _{i})=id_{V}^{i-1}\otimes R\otimes id_{V}^{n-i-1}}$.

Mittels des Satzes von Alexander kann man jede Verschlingung als Abschluss eines Zopfes darstellen. Mittels der Markow-Spur erhält man aus dem so definierten Endomorphismus eine Invariante und mit dem Satz von Markow kann man zeigen, dass diese Invariante wohldefiniert ist.

Beispiele von Quanteninvarianten

• Kontsevichs universelle Knoteninvariante
• Kashaev-Invariante
• Witten–Reshetikhin–Turaev-Invariante (siehe auch: Chern-Simons-Funktional)
• Rozansky–Witten-Invariante
• LMO-Invariante
• Turaev–Viro-Invariante
• Dijkgraaf–Witten-Invariante
• Reshetikhin–Turaev-Invariante
• Casson-Walker-Invariante
• HOMFLY-Polynom
• Vassiliev-Invarianten (Invarianten endlichen Typs)

Weblinks

• Garoufalidis: Quantum Knot Invariants

Literatur

• N. Reshetikhin, V. G. Turaev: Invariants of 3-manifolds via link polynomials and quantum groups. In: Invent. Math. 103, no. 3, 1991, S. 547–597.
• Robion Kirby, Paul Melvin: The 3-manifold invariants of Witten and Reshetikhin-Turaev for sl(2,C). In: Invent. Math. 105, no. 3, 1991, S. 473–545.
• Tomotada Ohtsuki: Quantum invariants. A study of knots, 3-manifolds, and their sets. (= Series on Knots and Everything. 29). World Scientific Publishing, River Edge, NJ 2002, ISBN 981-02-4675-7.
• Vladimir G. Turaev: Quantum invariants of knots and 3-manifolds. (= de Gruyter Studies in Mathematics. 18). 2., überarb. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 2010, ISBN 978-3-11-022183-1.