HOMFLY-Polynom

Das HOMFLY-Polynom, auch HOMFLY-PT-Polynom, ist in der Knotentheorie eine Verallgemeinerung von Alexander-Polynom und Jones-Polynom, die jedem Knoten ein Polynom in den Variablen ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle l}$ zuordnet. Auch ist es ein Beispiel einer Quanteninvariante.

Der Name setzt sich aus den Initialen der Mitentdecker zusammen: Jim Hoste, Adrian Ocneanu, Kenneth Millett, Peter Freyd, W. B. R. Lickorish, David N. Yetter^[1], Józef H. Przytycki, Paweł Traczyk.

Definition

Das Polynom wird wie folgt definiert:

${\displaystyle P(\mathrm {unknot} )=1,\,}$

${\displaystyle \ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,}$

wobei ${\displaystyle L_{+},L_{-},L_{0}}$ Verbindungen sind, die durch Überkreuzen und Glätten gebildet werden.

Das HOMFLY-Polynom einer Verschlingung ${\displaystyle L}$, die die disjunkte Vereinigung zweier Verschlingungen ${\displaystyle L_{1}}$ und ${\displaystyle L_{2}}$ ist, ergibt

${\displaystyle P(L)={\frac {-(\ell +\ell ^{-1})}{m}}P(L_{1})P(L_{2}).}$

Eigenschaften

Es gilt

${\displaystyle P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})P(L_{2}),\,}$,

wobei ${\displaystyle \#}$ die verbundene Summe bezeichnet; daher ist das HOMFLY-Polynom eines zusammengesetzten Knotens das Produkt der HOMFLY-Polynome seiner Komponenten.

Außerdem ist

${\displaystyle P_{K}(\ell ,m)=P_{{\text{Mirror Image}}(K)}(\ell ^{-1},m),\,}$,

also kann das HOMFLY-Polynom oft genutzt werden, um zwischen zwei Knoten unterschiedlicher Chiralität zu unterscheiden, obwohl es chirale Paare von Knoten gibt, die dasselbe HOMFLY-Polynom haben, z. B. 9₄₂ und 10₇₁.^[2]

Das Jones-Polynom ${\displaystyle V(t)}$ und das Alexander-Polynom ${\displaystyle \Delta (t)\,}$ können aus dem HOMFLY-Polynom wie folgt berechnet werden:

${\displaystyle V(t)=P(l=t^{-1},m=t^{-1/2}-t^{1/2}),\,}$

${\displaystyle \Delta (t)=P(l=1,m=t^{-1/2}-t^{1/2}).\,}$

Allgemeiner lässt sich die ${\displaystyle {{\mathfrak {s}}l}_{N}}$-Quanteninvariante aus dem HOMFLY-Polynom berechnen.

Literatur

• Louis H. Kauffman: Formal knot theory, 1983

Weblinks

• Gukov, Saberi: Lectures on knot homology and quantum curves