Modifizierte Z-Transformation

Die Modifizierte Z-Transformation stellt eine Erweiterung der zeitdiskreten Z-Transformation dar, um auch Signalwerte zwischen ganzzahligen Abtastzeitpunkten im Rahmen der zeitdiskreten Regelungstechnik verarbeiten zu können. Die dafür nötigen Modifikationen der Z-Transformation wurden in Arbeiten von Eliahu Ibrahim Jury im Jahr 1958 vorgestellt.^[1] Primäre Anwendung liegt bei der Erkennung von Instabilitäten zufolge der zeitdiskreten Signalverarbeitung von Regelstrecken, beispielsweise im Bereich der Leistungselektronik für hochdynamische elektrische Antriebssysteme.

Definition

Die modifizierte Z-Transformation weist für kausale Signale mit positiven und ganzzahligen k folgende Definition auf:

${\displaystyle G(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f((k+m)T)z^{-k}\ }$

mit ${\displaystyle T}$ der Periodendauer und einem „Verzögerungsfaktor“ ${\displaystyle m}$, der einen Teil der Periodendauer darstellt und im Bereich ${\displaystyle [0,1)}$ liegt.

Anschaulich stellt die modifizierte Z-Transformation eine unilaterale Z-Transformation dar, die vor dem Abtastglied zur Gewinnung der diskreten Signalfolge ein zusätzliches Laufzeitglied mit der Verzögerung

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-(1-m)Ts}}$

aufweist. Bei zeitlich konstanten ${\displaystyle m}$ gelten die Eigenschaften der Z-Transformation.

Korrespondenzen

Einige der wichtigen Korrespondenzen der modifizierten Z-Transformation lauten:

Zeitbereich f(t)	Spektralbereich G(z,m)
σ(t)	${\displaystyle {\frac {z}{z-1}}}$
${\displaystyle t}$	${\displaystyle {\frac {mT}{z-1}}+{\frac {T}{(z-1)^{2}}}}$
${\displaystyle \mathrm {e} ^{-at}}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{-amT}}{z-\mathrm {e} ^{-aT}}}}$
${\displaystyle 1-\mathrm {e} ^{-at}}$	${\displaystyle {\frac {1}{z-1}}+{\frac {\mathrm {e} ^{-amT}}{z-\mathrm {e} ^{-aT}}}}$
${\displaystyle \sin(\omega t)}$	${\displaystyle {\frac {z\sin {(m\omega T)}+\sin {((1-m)\omega T)}}{z^{2}-2z\cos {\omega T}+1}}}$

Für ${\displaystyle m=0}$ gehen die Korrespondenzen in die Formen der Z-Transformation über. Die modifizierte Z-Transformation wird daher auch als erweiterte Z-Transformation bezeichnet.