Heaviside-Funktion

Die Heaviside-Funktion, auch Theta-, Treppen-, Schwellenwert-, Stufen-, Sprung- oder Einheitssprungfunktion genannt, ist eine in der Mathematik und Physik oft verwendete Funktion. Sie ist nach dem britischen Mathematiker und Physiker Oliver Heaviside (1850–1925) benannt.

Die Heaviside-Funktion hat für jede beliebige negative Zahl den Wert null, andernfalls den Wert eins. Die Heaviside-Funktion ist mit Ausnahme der Stelle $x=0$ überall stetig. In Formeln geschrieben heißt das:

{\begin{aligned}\Theta \colon \;&\mathbb {R} \to \{0,1\}\\\ &x\mapsto {\begin{cases}0:&x<0\\1:&x\geq 0\end{cases}}\end{aligned}}

Sie ist also die charakteristische Funktion des Intervalls $[0,+\infty )$ der nichtnegativen reellen Zahlen.

In der Fachliteratur sind statt $\Theta (x)$ auch davon abweichende Notationen geläufig:

$H(x)$ , welche sich am Namen von Oliver Heaviside orientiert.
$s(x)$ und $\sigma (x)$ nach der Bezeichnung Sprungfunktion.
$u(x)$ nach der Bezeichnung englisch unit step function.
Auch $\epsilon (x)$ wird häufig verwendet.
In der Systemtheorie verwendet man auch das Symbol $1(x)$ .

Die Funktion findet zahlreiche Anwendungen, etwa in der Nachrichtentechnik oder als mathematisches Filter: Multipliziert man punktweise jeden Wert einer beliebigen stetigen Funktion mit dem entsprechenden Wert der Heaviside-Funktion, ergibt sich eine Funktion, die links von $x=0$ den Wert Null hat (deterministische Funktion), rechts davon aber mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt.

Den Wert der Heaviside-Funktion an der Stelle $x=0$ kann man auch folgendermaßen festlegen. Zur Kennzeichnung der Definition schreibt man

{\begin{aligned}\Theta _{c}\colon \;&\mathbb {R} \to \mathbb {K} \\\,&x\mapsto {\begin{cases}0:&x<0\\c:&x=0\\1:&x>0\end{cases}}\end{aligned}}

mit $0,1,c\in \mathbb {K}$ . Es kann $\mathbb {K}$ also eine beliebige geordnete Menge darstellen, solange sie 0 und 1 enthält. Üblicherweise wird jedoch $\mathbb {K} =[0,1]\subset \mathbb {R}$ verwendet.

Diese Definition ist charakterisiert durch die Eigenschaft, dass dann $\Theta _{c}(0)=c$ ist.

Durch die Wahl $c:={\tfrac {1}{2}}$ und folglich $\Theta _{\frac {1}{2}}(0)=\textstyle {\frac {1}{2}}$ erreicht man, dass die Gleichungen

\Theta _{\frac {1}{2}}(x)={\tfrac {1}{2}}(\operatorname {sgn} {(x)}+1)

und damit auch

\Theta _{\frac {1}{2}}(-x)=1-\Theta _{\frac {1}{2}}(x)

für alle reellen $x$ gültig sind.

Eine Integralrepräsentation der Heaviside-Sprungfunktion lautet wie folgt:

\Theta (x)=-\lim _{\varepsilon \to 0}{1 \over 2\pi \mathrm {i} }\int _{-\infty }^{\infty }{1 \over \tau +\mathrm {i} \varepsilon }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x\tau }\,\mathrm {d} \tau

Eine weitere Repräsentation ist gegeben durch

\Theta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0}{1 \over \pi }\left[\arctan \left({x \over \varepsilon }\right)+{\pi  \over 2}\right]

Differenzierbarkeit

Die Heaviside-Funktion ist weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Dennoch kann man über die Theorie der Distributionen eine Ableitung definieren. Die Ableitung der Heaviside-Funktion in diesem Sinne ist die diracsche Delta-Distribution, die in der Physik zur Beschreibung von punktförmigen Quellen von Feldern Verwendung findet.

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\Theta (x)=\delta (x)

Eine heuristische Begründung für diese Formel erhält man, wenn man $\Theta (x)$ und $\delta (x)$ geeignet approximiert, z. B. durch

\Theta _{\varepsilon }(x):={\begin{cases}0&x<(-\varepsilon )\\\left({\frac {1}{2}}+{\frac {x}{2\varepsilon }}\right)&|x|\leq \varepsilon \\1&x>\varepsilon \,,\end{cases}}

sowie

\delta _{\varepsilon }(x):={\begin{cases}0&|x|>\varepsilon \\{\frac {1}{2\varepsilon }}&|x|\leq \varepsilon \,,\end{cases}}

wobei jeweils der Grenzwert $\lim _{\varepsilon \searrow 0}$ betrachtet wird.

Alternativ kann eine differenzierbare Annäherung an die Heaviside-Funktion durch eine entsprechend normierte Sigmoidfunktion erreicht werden.

Integration

Eine Stammfunktion der Heaviside-Sprungfunktion erhält man durch Aufspaltung des Integrals nach den beiden Fällen $x<0$ und $x\geq 0$ aus der Fallunterscheidung in der Definition:

Für $x>0$ gilt
${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{x}\Theta \!\left(t\right)\,\mathrm {d} t&=\int _{-\infty }^{x}\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}t<0\\1&{\text{,}}&&{\text{falls }}t\geq 0\end{alignedat}}\right.\,\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{0}\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}t<0\\1&{\text{,}}&&{\text{falls }}t\geq 0\end{alignedat}}\right.\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{x}\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}t<0\\1&{\text{,}}&&{\text{falls }}t\geq 0\end{alignedat}}\right.\,\mathrm {d} t\\&=\int _{-\infty }^{0}0\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{x}1\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}1\,\mathrm {d} t={\Big [}t{\Big ]}_{0}^{x}=x\end{aligned}}$
Für $x\leq 0$ tritt sogar nur der erste Fall ein und es gilt
$\int _{-\infty }^{x}\Theta \!\left(t\right)\,\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{x}\left\{{\begin{alignedat}{2}0&{\text{,}}&\quad &{\text{falls }}t<0\\1&{\text{,}}&&{\text{falls }}t\geq 0\end{alignedat}}\right.\,\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{x}0\,\mathrm {d} t=0$ .