Lokal konstante Funktion

In der Mathematik heißt eine Funktion ${\displaystyle f\colon T\to M}$ von einem topologischen Raum ${\displaystyle T}$ in eine Menge ${\displaystyle M}$ lokal konstant, wenn für jedes ${\displaystyle x\in T}$ eine Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle x}$ existiert, auf der ${\displaystyle f}$ konstant ist.

Die auf ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ beschränkte Vorzeichenfunktion ist lokal konstant

Eigenschaften

• Jede konstante Funktion ist auch lokal konstant.
• Jede lokal konstante Funktion von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ in eine beliebige Menge ${\displaystyle M}$ ist konstant, da ${\displaystyle \mathbb {R} }$ zusammenhängend ist und nicht durch mindestens zwei disjunkte offene Mengen zu überdecken ist.
• Jede lokal konstante holomorphe Funktion ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {C} }$ von einer offenen Menge ${\displaystyle M}$ in die komplexen Zahlen ist konstant, wenn ${\displaystyle M}$ ein Gebiet ist, also zusammenhängend ist.
• Allgemein ist jede lokal konstante Funktion konstant auf jeder Zusammenhangskomponente, für lokal zusammenhängende Räume gilt auch die Umkehrung.
• Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon T\to D}$ von einem topologischen Raum ${\displaystyle T}$ in einen diskreten Raum ${\displaystyle D}$ ist genau dann stetig, wenn sie lokal konstant ist.
• Jede Abbildung ${\displaystyle f\colon D\to T}$ von einem diskreten Raum ${\displaystyle D}$ in einen beliebigen topologischen Raum ${\displaystyle T}$ ist lokal konstant.
• Die Menge der lokal konstanten Funktionen auf einem Raum bilden auf natürliche Weise eine Garbe kommutativer Ringe.

Beispiele

• Die Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {Q} }$, definiert durch ${\displaystyle f(x)=0}$ für ${\displaystyle x<\pi }$ und ${\displaystyle f(x)=1}$ für ${\displaystyle x>\pi }$ ist lokal konstant. (Hierbei geht ein, dass ${\displaystyle \pi }$ irrational ist, da so ${\displaystyle \{x\mid x<\pi \}}$ und ${\displaystyle \{x\mid x>\pi \}}$ offene Mengen sind, die ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ überdecken.)
• Die Funktion ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\to \mathbb {R} }$, definiert durch ${\displaystyle g(x)=0}$ für ${\displaystyle x<0}$ und ${\displaystyle g(x)=1}$ für ${\displaystyle x>0}$, ist ebenso lokal konstant.
• Die Vorzeichenfunktion auf ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ist lokal konstant.
• Treppenfunktionen sind nicht lokal, sondern stückweise konstant.