Algebraische Gruppe

Der mathematische Begriff der algebraischen Gruppe stellt die Synthese aus Gruppentheorie und algebraischer Geometrie dar. Ein zentrales Beispiel ist die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen.

Definition

Eine algebraische Gruppe ist ein Gruppenobjekt in der Kategorie der algebraischen Varietäten über einem festen Körper ${\displaystyle k}$, d. h. eine algebraische Varietät ${\displaystyle G}$ über ${\displaystyle k}$ zusammen mit

• einem Morphismus ${\displaystyle m\colon G\times G\to G}$ (Multiplikation)
• einem Morphismus ${\displaystyle i\colon G\to G}$ (inverses Element)
• und einem ausgezeichneten Punkt ${\displaystyle e\in G(k)}$ (neutrales Element),

so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• Assoziativgesetz: ${\displaystyle m\circ (m\times \mathrm {id} _{G})=m\circ (\mathrm {id} _{G}\times m)}$;
• neutrales Element: ${\displaystyle m\circ (\mathrm {id} _{G}\times e)=\mathrm {id} _{G}=m\circ (e\times \mathrm {id} _{G})}$;
• inverses Element: ${\displaystyle m\circ (i\times \mathrm {id} _{G})\circ \Delta _{G}=e\circ \xi =m\circ (\mathrm {id} _{G}\times i)\circ \Delta _{G}}$; dabei ist ${\displaystyle \Delta _{G}\colon G\to G\times G}$ die Inklusion der Diagonale (${\displaystyle g\mapsto (g,g)}$) und ${\displaystyle \xi \colon G\to \mathrm {Spec} (k)}$ der Strukturmorphismus.

Diese Bedingungen sind äquivalent zu der Forderung, dass ${\displaystyle (m,i,e)}$ für jedes ${\displaystyle k}$-Schema ${\displaystyle T}$ auf der Menge ${\displaystyle G(T)}$ der ${\displaystyle T}$-wertigen Punkte die Struktur einer (gewöhnlichen) Gruppe definieren.

Beispiele

• Die additive Gruppe ${\displaystyle \mathbb {G} _{\mathrm {a} }}$: ${\displaystyle \mathbb {G} _{\mathrm {a} }(T)=\Gamma (T,{\mathcal {O}}_{T})}$ mit der Addition als Gruppenstruktur. Insbesondere für ${\displaystyle T=k}$ ist ${\displaystyle \mathbb {G} _{\mathrm {a} }(k)=(k,+)}$ die affine Gerade ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}(k)}$ mit der Addition.
• Die multiplikative Gruppe ${\displaystyle \mathbb {G} _{\mathrm {m} }}$: ${\displaystyle \mathbb {G} _{\mathrm {m} }(T)=\Gamma (T,{\mathcal {O}}_{T}^{\times })}$ mit der Multiplikation als Gruppenstruktur. Insbesondere für ${\displaystyle T=k}$ ist ${\displaystyle \mathbb {G} _{\mathrm {m} }(k)=(k^{\times },\cdot )}$ die offene Teilmenge ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}(k)\setminus \left\{0\right\}}$ mit der Multiplikation.
• Die allgemeine lineare Gruppe ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$: ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(T)=\mathrm {GL} _{n}(\Gamma (T,{\mathcal {O}}_{T}))}$; dabei bezeichnet die rechte Seite die Gruppe der invertierbaren ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen mit Einträgen im Ring ${\displaystyle \Gamma (T,{\mathcal {O}}_{T})}$. ${\displaystyle \mathrm {GL} _{1}}$ kann mit ${\displaystyle \mathbb {G} _{\mathrm {m} }}$ identifiziert werden.
• Der Kern eines Morphismus ${\displaystyle f:G\rightarrow H}$ algebraischer Gruppen ist wieder eine algebraische Gruppe. Zum Beispiel ist ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(T)=\mathrm {ker} (\mathrm {det}$ :\mathrm {GL} _{n}\to \mathbb {G} _{\mathrm {m} })} eine algebraische Gruppe.
• Elliptische Kurven oder allgemeiner abelsche Varietäten.
• Zariski-abgeschlossene Untergruppen algebraischer Gruppen sind wieder algebraische Gruppen. Zariski-abgeschlossene Untergruppen von ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$ werden als lineare algebraische Gruppen bezeichnet. Wenn eine algebraische Gruppe eine affine Varietät ist, dann ist sie eine lineare algebraische Gruppe.
• Unipotente algebraische Gruppen.

Satz von Chevalley

Jede algebraische Gruppe über einem perfekten Körper ist auf eindeutige Weise eine Erweiterung einer abelschen Varietät durch eine lineare algebraische Gruppe.^[1] Das heißt, zu jeder algebraischen Gruppe ${\displaystyle G}$ gibt es eine maximale lineare algebraische Untergruppe ${\displaystyle G_{\mathrm {aff} }}$, diese ist normal und der Quotient ${\displaystyle A(G):=G/G_{\mathrm {aff} }}$ ist eine abelsche Varietät:

${\displaystyle 0\rightarrow G_{\mathrm {aff} }\rightarrow G\rightarrow A(G)\rightarrow 0}$.

Die Abbildung ${\displaystyle G\rightarrow A(G)}$ ist die Albanese-Abbildung.

Einzelnachweise

1. Conrad: Satz von Chevalley (PDF-Datei; 233 kB)

Literatur

• James E. Humphreys: Linear Algebraic Groups. Springer, New York 1975, ISBN 3-540-90108-6.
• Armand Borel: Linear Algebraic Groups. 2. Auflage, Springer, New York 1991, ISBN 3-540-97370-2.
• Tonny A. Springer: Linear Algebraic Groups. 2. Auflage, Birkhäuser, Boston 1998, ISBN 3-7643-4021-5.
• Ina Kersten: Lineare algebraische Gruppen. Universitätsverlag Göttingen, 2007, (PDF; 1,4 MB).

Weblinks

• Algebraic Groups von James S. Milne