Vollkommener Körper

Perfekte Körper oder vollkommene Körper ist ein Begriff aus der Algebra, der in der Körpertheorie von Nutzen ist, weil die Galois-Theorie vollkommener Körper zahlreiche Komplikationen vermeidet, die bei allgemeineren Körpern auftreten können.

Definition

Ein Körper ${\displaystyle K}$ heißt vollkommen, wenn alle irreduziblen Polynome separabel sind, das heißt keine Mehrfachnullstellen in ihrem Zerfällungskörper haben.^[1]

Beispiele

Ein Körper ist genau dann vollkommen, wenn er

• entweder Charakteristik 0 hat (insbesondere sind die bekannten Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle \mathbb {C} }$ vollkommen.)

oder

• prime Charakteristik ${\displaystyle p}$ hat und der Frobenius-Homomorphismus ein Automorphismus ist. (Insbesondere sind alle endlichen Körper vollkommen.)^[2]

Ein Beispiel eines nicht vollkommenen Körpers ist der Funktionenkörper ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}(X)}$ für einen endlichen Körper ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$.

Äquivalente Charakterisierungen

Ein Körper ${\displaystyle K}$ ist vollkommen, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt.

• Kein über ${\displaystyle K}$ irreduzibles Polynom hat mehrfache Nullstellen im Zerfällungskörper.
• Jede endliche Erweiterung von ${\displaystyle K}$ ist separabel.
• Jede algebraische Erweiterung von ${\displaystyle K}$ ist separabel.
• Der separable Abschluss von ${\displaystyle K}$ ist algebraisch abgeschlossen.

Weblinks

• Perfect Field (Encyclopedia of Mathematics)
• Perfect Field (MathWorld)

Einzelnachweise

1. Kurt Meyberg: Algebra – Teil 2. Hanser 1976, ISBN 3-446-12172-2, Definition 6.9.10
2. Kurt Meyberg: Algebra – Teil 2. Hanser 1976, ISBN 3-446-12172-2, Satz 6.9.11