Lageparameter (deskriptive Statistik)
Begriff aus der deskriptiven Statistik Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
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Als Lageparameter oder Lagemaße bezeichnet man in der deskriptiven Statistik gewisse Kennzahlen beobachter Werte (Daten), die eine zentrale Tendenz des Datensatzes zum Ausdruck bringen.[1] Im einfachsten Fall geben sie an, wo sich das Zentrum der Beobachtungswerte befindet, also in welchem Bereich sich ein großer Teil der Beobachtungswerte befindet. Typische Beispiele für Lageparameter sind das mittlere Einkommen und das durchschnittliche Einkommen bei Erhebungen des Einkommens.
Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass reellwertige Beobachtungswerte vorliegen, die inhaltlich zu einer Variablen gehören. Dies können Messwerte sein. Es kann sich um Stichprobenwerte, als um realisierte Werte von Stichprobenvariablen handeln, es kann sich aber auch um Beobachtungswerte einer Gesamtheit handeln, die nicht als Stichprobe entstanden sind und auch nicht als Stichprobenwerte aufgefasst werden.
Manche Autoren fordern von einem Lageparameter die sogenannte Verschiebungsäquivarianz.[2] Ist ein Lageparameter und ist
ein um den Wert verschobener Datensatz, so soll
gelten. Eine Verschiebung der Daten um einen gewissen Wert resultiert also immer in einer Verschiebung des Lageparameters um diesen Wert. Nicht alle Parameter, die gängigerweise als Lageparameter bezeichnet werden, erfüllen diese Bedingung. Meist werden deshalb Lageparameter umschrieben als Kennzahlen, die eine zentrale Tendenz des Datensatzes zum Ausdruck bringen.[3][1]
Im Folgenden wird von Beobachtungswerten mit für ausgegangen, die durch einen reellwertigen Lageparameter charakterisiert werden.
Der Modus oder Modalwert der Beobachtungswerte ist als derjenige Wert, der am häufigsten auftritt. Treten mehrere Werte gleich häufig auf, so werden sie alle als Modus bezeichnet, der Modus ist also nicht eindeutig. Man spricht dann von einer multimodalen Häufigkeitsverteilung. Der Modus existiert für beliebige Beobachtungswerte, da er sich im Gegensatz zu den anderen Lagemaßen schon definieren lässt, wenn nur eine Nominalskala gegeben ist.
Der Median, mit , oder bezeichnet, ist derjenige Wert, der die Beobachtungswerte in zwei Hälften teilt:
Dazu wird zuerst die Beobachtungswerte der Größe nach geordnet. Der so entstandene Datensatz wird dann mit bezeichnet. Somit ist der -größte Wert der Beobachtungswerte. Der Median wird dann definiert als
Das arithmetische Mittel, auch empirischer Mittelwert oder einfach kurz Mittelwert genannt und mit bezeichnet, ist die Summe der Merkmalswerte, geteilt durch die Anzahl der beobachteten Werte. Es ist also
Nach Aggregation und dem Vorliegen der absoluten Häufigkeiten für verschiedene beobachtete Werte (es gilt ) kann
verwendet werden. Dabei ist die Anzahl der beobachteten Werte, der Index über alle beobachteten Werte, ein Index über die Menge beobachteten voneinander verschiedenen Beobachtungswerte. Mit den relativen Häufigkeiten für gilt
Es werden die Beobachtungswerte
betrachtet.
Vorteil des Modus ist, dass er stets existiert. So lässt sich auch bei Beobachtungswerten wie
noch der Modus zu Zebra zu bestimmen. Die Bestimmung des Medians ist hier nicht sinnvoll, da keine klar definierte Ordnung gegeben ist. Noch unsinniger wäre die Bestimmung des arithmetischen Mittels, da unklar ist, was mit gemeint ist.
In Situationen, in denen eine Ordnungsstruktur gegeben ist, ist auch der Median definiert. Auch in solchen Situationen ist das arithmetische Mittel im Allgemeinen nicht definiert, da aus dem Vorhandensein von größer/kleiner-Relationen nicht folgt, dass addiert werden kann.
Wie bereits im oberen Beispiel gezeigt wurde, ist der Modus im Allgemeinen nicht eindeutig. Im Gegensatz dazu ist der Median eindeutig, jedoch existieren in der Literatur leicht unterschiedliche Definitionen, welche aus verschiedenen pragmatischen Überlegungen entstammen. Daher kann bei Verwendung verschiedener Definitionen der Median auch verschiedene Werte annehmen.
Der Median ist im Gegensatz zum arithmetischen Mittel robust. Dies bedeutet, dass er sich bei Änderungen der Beobachtungswerte in wenigen Werten – z. B. einzelnen Ausreißern – nur wenig verändert. Betrachtet man zum Beispiel die oben gegebenen Beobachtungswerte
so ist wie bereits gezeigt wurde und . Betrachtet man nun die modifizierten Beobachtungswerte
bei denen nur ein Wert von 9 zu 1000 verändert wurde, so ergibt sich nach neuerlicher Berechnung für den Median immer noch , wohingegen für das arithmetische Mittel gilt. Der Ausreißer macht sich also beim arithmetischen Mittel stark bemerkbar, während er den Median nicht verändert.
Der arithmetische Mittelwert aus kleinstem und größtem Beobachtungswert ist die Bereichsmitte.[4]
Eng mit dem Median verwandt sind die sogenannten (p-)Quantile. Ein -Quantil ist als diejenige Zahl definiert, so dass ein Anteil von , also , der Beobachtungswerte kleiner als das -Quantil sind und ein Anteil von , also , der Beobachtungswerte größer sind als das -Quantil. Somit ist der Median genau das -Quantil.
Einige p-Quantile zu speziellen p-Werten tragen Eigennamen, zu ihnen zählen die Terzile, die Quartile, die Quintile, die Dezile und die Perzentile.
Der getrimmte Mittelwert entsteht, wenn man aus einem Datensatz einen gewissen Anteil der größten und der kleinsten Werte weglässt und aus den restlichen Daten das arithmetische Mittel bildet.
In einem weiteren Sinn zählt auch das geometrische Mittel zu den Lageparametern.[5] Es ist definiert als die -te Wurzel des Produktes positiver Beobachtungswerte , also
Ein weiterer Lageparameter ist das harmonische Mittel.[6] Es ist gegeben als
Weitere Lagemaße sind das sogenannte winsorisierte Mittel und das Lehmann-Hodges-Mittel.[7]