Kranzprodukt

Das Kranzprodukt (engl. wreath product) ist ein Begriff aus der Gruppentheorie und bezeichnet ein spezielles semidirektes Produkt von Gruppen.

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Definition

Sind ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle J}$ Gruppen und operiert ${\displaystyle J}$ auf einer Menge ${\displaystyle Y}$, so wird dadurch eine Operation von ${\displaystyle J}$ auf ${\displaystyle G^{Y}}$ (der Gruppe aller Abbildungen von ${\displaystyle Y}$ nach ${\displaystyle G}$ mit punktweiser Verknüpfung) induziert durch:

${\displaystyle \forall j\in J,f\in G^{Y}:(^{j}f)(y)=f(^{j^{-1}}y)}$

Jedes ${\displaystyle j\in J}$ definiert auf diese Weise einen Automorphismus von ${\displaystyle G^{Y}}$.

Somit kann das Kranzprodukt ${\displaystyle G\wr _{Y}J}$ als das semidirekte Produkt aus ${\displaystyle G^{Y}}$ und ${\displaystyle J}$ bezüglich ebendieser Operation definiert werden. Manchmal betrachtet man auch das eingeschränkte Kranzprodukt. Dieses erhält man, indem man statt der Gruppe aller Abbildungen von ${\displaystyle Y}$ nach ${\displaystyle G}$ nur die Untergruppe der Abbildungen betrachtet, die fast überall verschwinden.

Eigenschaften

Aus der Definition lässt sich sofort die Kardinalität von Kranzprodukten ableiten: ${\displaystyle \left|G\wr _{Y}J\right|=\left|G\right|^{\left|Y\right|}\cdot \left|J\right|}$

Da jede Gruppe auf sich selbst durch Linksmultiplikation operiert, ist es auch oft so, dass nur das entsprechende Kranzprodukt ${\displaystyle G\wr _{J}J}$ definiert wird. Ebenso üblich ist es, Y als endliche Menge ${\displaystyle \{1,...,n\}}$ festzusetzen und für J nur Untergruppen von Sym(n) mit der kanonischen Operation auf Y zuzulassen.

Operationen

Operiert G auf einer Menge X, so wird dadurch und durch die Operation von J auf Y eine Operation von ${\displaystyle G\wr _{Y}J}$ auf ${\displaystyle X\times Y}$ induziert:

${\displaystyle \forall (x,y)\in X\times Y,(f,j)\in G\wr _{Y}J:^{(f,j)}(x,y):=(^{f(^{j}y)}x,^{j}y)}$

Diese Operation ist genau dann treu/transitiv, wenn die Operationen von G auf X und J auf Y treu/transitiv sind.

Gruppenerweiterungen

Ist H eine Erweiterung von N durch Q, so lässt sich H als eine Untergruppe eines Kranzprodukts aus N und Q darstellen. Dies ist vielleicht eine der wichtigsten Eigenschaften von Kranzprodukten, da jede endliche Gruppe durch Erweiterungen einfacher endlicher Gruppen darstellbar ist.

Gegeben ist also eine exakte Sequenz

${\displaystyle 1\longrightarrow N\longrightarrow ^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\iota }\ \,H\longrightarrow ^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\pi }\ \,Q\longrightarrow 1}$

Außerdem sei eine Abbildung ${\displaystyle q\colon H\to H}$ gegeben, die ${\displaystyle \forall g\in H:q(g)\iota (N)=g\iota (N)}$ erfüllt und jedem Element einen festen Repräsentanten seiner jeweiligen Nebenklasse zuordnet. Weiterhin muss gelten ${\displaystyle \forall g\in H:q(g^{-1})=q(g)^{-1}}$. (Ist N unendlich, so ist eine solche Funktion möglicherweise nur mit dem Auswahlaxiom zu finden)

Die Einbettung ${\displaystyle \phi \colon H\hookrightarrow N\wr _{Q}Q}$ (Q operiert auf sich selbst durch Linksmultiplikation) ist dann gegeben durch:

${\displaystyle \phi (h):=(\sigma _{h},\pi (h))\,}$

Hierbei ist ${\displaystyle \sigma _{h}\colon Q\to N}$ wie folgt definiert:

${\displaystyle \sigma _{h}(yN):=\iota ^{-1}(q(y^{-1})\cdot h\cdot q(h^{-1}y))}$

Diese Einbettung geht zurück auf L. Kaloujnine und M. Krasner.^[1]

Beispiele

Die p-Sylow-Gruppen der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ lassen sich als iterierte Kranzprodukte zyklischer Gruppen darstellen.

Dazu definiert man rekursiv eine Folge von Gruppen durch ${\displaystyle W_{p,0}:=\{1\}}$ und ${\displaystyle W_{p,n+1}:=W_{p,n}\wr _{\mathbb {Z} _{p}}\mathbb {Z} _{p}}$, wobei die Operation von ${\displaystyle J=\mathbb {Z} _{p}}$ auf ${\displaystyle Y=\mathbb {Z} _{p}}$ durch Linksmultiplikation gegeben ist.

Stellt man n zur Basis p dar, d. h. als Summe ${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{c_{i}p^{i}}}$ mit ${\displaystyle c_{i}\in \{0,...,p-1\}}$, so sind die p-Sylow-Gruppen von ${\displaystyle S_{n}}$ dann isomorph zu ${\displaystyle \prod _{i=0}^{k}{W_{p,i}^{c_{i}}}}$

Zum Symbol

Die senkrechte Tilde, die für das Kranzprodukt verwendet wird, befindet sich im Unicode-Block Mathematische Operatoren auf Position U+2240^[2], in TeX und LaTeX kann es mit \wreath bzw. \wr dargestellt werden.

Literatur

• John D. P. Meldrum: Wreath Products of Groups and Semigroups. Chapman & Hall/CRC, 1995, ISBN 978-0-582-02693-3.

Quellen

1. "Produit complet des groupes de permutations et probleme d’extension de groupes", L. Kaloujnine, M. Krasner - I, Acta Sci. Math. Szeged, 1950
2. Unicode Character 'WREATH PRODUCT' (U+2240), fileformat.info