Gruppenerweiterung

In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind Gruppenerweiterungen eine Möglichkeit, Gruppen durch einen Normalteiler und die sich ergebende Faktorgruppe zu beschreiben.

Für Gruppen ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle N}$ ist eine Gruppenerweiterung von ${\displaystyle G}$ durch ${\displaystyle N}$ eine Gruppe ${\displaystyle E}$ mit einem surjektiven Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \phi \colon E\to G}$ und Kern isomorph zu ${\displaystyle N}$. Mit anderen Worten, es gibt eine exakte Sequenz

${\displaystyle 1\to N\to E\to G\to 1}$.

Notwendigerweise ist dann ${\displaystyle N}$ ein Normalteiler und ${\displaystyle G}$ isomorph zur Faktorgruppe ${\displaystyle E/N}$.

Ein Morphismus zwischen zwei Erweiterungen ${\displaystyle \phi \colon E\to G,\phi ^{\prime }\colon E^{\prime }\to G}$ derselben Gruppe ${\displaystyle G}$ ist ein Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \psi \colon E\to E^{\prime }}$ mit ${\displaystyle \phi ^{\prime }\psi =\phi }$.

Als triviale Erweiterung durch ${\displaystyle H}$ bezeichnet man die Projektion ${\displaystyle G\times H\to G}$. Als zentrale Erweiterung bezeichnet man Erweiterungen, bei denen ${\displaystyle N}$ zum Zentrum von ${\displaystyle G}$ gehört. Insbesondere muss ${\displaystyle N}$ dann eine abelsche Gruppe sein.

Eine spezielle Klasse von Gruppenerweiterungen sind semidirekte Produkte ${\displaystyle G\ltimes H}$. Eine Erweiterung ${\displaystyle \phi \colon E\to G}$ ist genau dann ein semidirektes Produkt, wenn es einen Homomorphismus ${\displaystyle s\colon G\to E}$ mit ${\displaystyle \phi \circ s=id_{G}}$ gibt. Auch für eine abelsche Gruppe ${\displaystyle H}$ ist ein semidirektes Produkt ${\displaystyle G\ltimes H}$ nur dann eine zentrale Erweiterung, wenn der das semidirektes Produkt definierende Homomorphismus ${\displaystyle G\to Aut(H)}$ trivial ist, es sich also um das direkte Produkt ${\displaystyle G\times H}$ handelt.