Weber war zusammen mit Ludwig Klingenberg in Oldenburg als freier Architekt tätig, bevor er 1899 in den bremischen Staatsdienst eintrat.
Klingenberg und Weber errangen 1890 mit ihrem Wettbewerbsentwurf für das Gerichtsgebäude an der Domsheide in Bremen einen ihrer größten Erfolge, sie erhielten dafür einen 2. Preis und anschließend den Auftrag zur Bauausführung. Anschließend bewarben sie sich 1896 erfolgreich mit einem Entwurf für ein neues Kaffeehaus im Bürgerpark, zu dessen Bau der Brauereidirektor Lambert Leisewitz aus Anlass seiner Silberhochzeit die Baukosten in Höhe von 50.000 Mark beisteuerte. Für den Bürgerparkverein ergaben sich daran anschließend auch noch einige kleinere Aufträge. Dazu zählen der der Musikpavillon am Kaffeehaus, 1900 die Umbauarbeiten der Stallungen an der Meierei und im darauffolgenden Jahr die Errichtung der Elisenstiftung. Weber blieb dem Bürgerpark auch noch lange Jahre verbunden – er betreute die Bautätigkeit des Vereins –, nachdem er seine Tätigkeit in der Hochbauinspektion I der Bremischen Bauverwaltung aufgenommen hatte. Aus der Tätigkeit mit Klingenberg sind noch zu erwähnen der Wettbewerbsentwurf für die Ausschmückung der projektierten neuen Kleinen Weserbrücke, der 1901 mit einem 3. Preis prämiert wurde, die Sparkasse am Buntentorsteinweg (1897), die Strandlust Vegesack (1898) und die Wiederherstellung der Liebfrauenkirche, die von Max Salzmann begonnen worden war. Die Zusammenarbeit mit Klingenberg dauerte noch bis 1901. Die letzten beiden Jahre war das Architekturbüro in Bremen im Haus Am Wall 18 ansässig,. Hugo Weber wohnte auch bis 1921 mit seiner Familie in diesem Haus, bis er in eine Dienstwohnung im Haus Parkallee 37, neben der Schule Am Barkhof, bezog.
In der Bremischen Bauverwaltung löste Weber 1899 Heinrich Flügel in der Leitung der Hochbauinspektion Bremen ab. Zunächst kommissarisch im Range eine Bauinspektors, ab 1901 dann als Baurat. Neben zahlreichen Schulbauten entstanden unter seiner Leitung ab 1900 die Psychiatrische Heil- und Pflegeanstalt St.-Jürgen-Asyl und 1903 das Technikum an der Langemarckstraße.
1904–1906: 16-klassige Volksschule Elsflether Straße mit angebauter Turnhalle, Elsflether Straße 29 in Bremen (seit 1985 in nichtschulischer Nutzung)[8]
Zill, Meister: Die Städtischen Krankenanstalten an der Sankt-Jürgen-Straße. In: Carl Thalenhorst (Hrsg.): Bremen und seine Bauten 1900–1951. Bremen 1952, S. 277–284 (uni-bremen.de).