Ein Gruppenschema ist in der algebraischen Geometrie die Verallgemeinerung einer algebraischen Gruppe.
Typische Beispiele sind affine algebraische Gruppen oder abelsche Varietäten. Im Unterschied zur klassischen Sichtweise können Gruppenschemata über beliebigen Schemata definiert werden. Solche finden Anwendung in der Theorie von Modulräumen abelscher Varietäten.
Sei ein Schema und sei die Kommakategorie der Schemata über .
Die Objekte von nennen wir -Schemata.
Sie hat endliche Produkte. Diese sind durch das Faserprodukt von -Schemata gegeben.
Als Gruppenobjekt
Ein Gruppenschema über (-Gruppenschema) ist ein Gruppenobjekt in .[1]
Konkret heißt das:
Ein -Gruppenschema über besteht aus einem -Schema zusammen mit drei Morphismen
- , Multiplikation
- , Inklusion des neutralen Elements
- , Inversion
sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:
- ist assoziativ, das heißt als Morphismen .
- ist ein zweiseitiges neutrales Element für , das heißt und , wobei (bzw. ) die Projektion auf den ersten (bzw. zweiten) Faktor ist.
- ist ein zweiseitiges inverses Element für , das heißt und . Hier bezeichnet die Diagonale.
Diese Regeln sind den Gruppenaxiomen nachempfunden.
Morphismen
Ein Morphismus von Gruppenschemata ist ein Morphismus von -Schemata, der mit den Strukturmorphismen verträglich ist, das heißt , und . Tatsächlich folgen die letzten beiden Eigenschaften bereits aus .
Die Klasse der -Gruppenschemata bildet zusammen mit Morphismen von -Gruppenschemata wieder eine Kategorie .
- Ist eine Eigenschaft von -Schemata, das heißt eine Teilklasse der Objekte von , die durch eine logische Formel definiert ist, so definiert diese eine Eigenschaft von -Gruppenschemata. Ist ein -Gruppenschema, so sagen wir habe die Eigenschaft , falls das unterliegende -Schema die Eigenschaft hat.[4] So erhalten wir beispielsweise die Definitionen von quasikompakt, affin, flach, von endlichem Typ, von endlicher Präsentation, endlich, quasisepariert, separiert, unverzweigt, glatt, étale etc.
- Ein Gruppenschema ist kommutativ, wenn gilt. Hierbei ist die Vertauschung. Sie wird von der universellen Eigenschaft des Produktes von und induziert.
Jedes Schema besitzt einen eindeutigen Schemamorphismus .
Durch Basiswechsel definiert also jedes -Gruppenschema auf eindeutige Weise ein -Gruppenschema .
- Die additive Gruppe ist als -Gruppenschema auf -Punkten durch
- definiert.[11][12] Der Funktor wird durch die -Hopf-Algebra mit den Operationen
- :&\mathbb {Z} [x]\to \mathbb {Z} [x]\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} [x],&x\mapsto x\otimes 1+1\otimes x\\\varepsilon :&\mathbb {Z} [x]\to \mathbb {Z} ,&x\mapsto 0\\s:&\mathbb {Z} [x]\to \mathbb {Z} [x],&x\mapsto -x\end{array}}}
- dargestellt.
- Die multiplikative Gruppe ist als -Gruppenschema auf -Punkten durch
- definiert.[11][13] Der Funktor wird durch die -Hopf-Algebra mit den Operationen
- :&\mathbb {Z} [x,x^{-1}]\to \mathbb {Z} [x,x^{-1}]\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Z} [x,x^{-1}],&x\mapsto x\otimes x\\\varepsilon :&\mathbb {Z} [x,x^{-1}]\to \mathbb {Z} ,&x\mapsto 1\\s:&\mathbb {Z} [x,x^{-1}]\to \mathbb {Z} [x,x^{-1}],&x\mapsto x^{-1}\end{array}}}
- dargestellt.
- Die allgemeine lineare Gruppe für ist als -Gruppenschema auf -Punkten durch
- definiert.[14] Der Funktor wird durch die Hopf-Algebra mit
- mit
- Eintrag der Inversen von
- dargestellt.
- Die spezielle lineare Gruppe für kann als abgeschlossenes Untergruppenschema von definiert werden. Dazu genügt es ein Hopf-Ideal von aus dem vorigen Beispiel anzugeben. Das Hauptideal ist das gesuchte Hopf-Ideal. Die Hopf-Algebra zu ist also . Alternativ kann :\mathrm {GL} _{n}\to \mathbb {G} _{m})}
definiert werden.