Gell-Mann-Matrizen

Die Gell-Mann-Matrizen, benannt nach Murray Gell-Mann, sind eine mögliche Darstellung der infinitesimalen Generatoren der speziellen unitären Gruppe SU(3).

Diese Gruppe hat acht hermitesche Generatoren, die man als ${\displaystyle T_{j}}$ mit ${\displaystyle j=1,\dotsc ,8}$ schreiben kann. Sie erfüllen die Kommutatorrelation (siehe: Lie-Algebra)

${\displaystyle \left[T_{a},T_{b}\right]={\mathrm {i} }\,f^{abc}\,T_{c}}$

(wobei die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wurde). Die ${\displaystyle f^{abc}}$ werden als Strukturkonstanten bezeichnet und sind komplett-antisymmetrisch bezüglich Vertauschung der Indizes. Für die SU(3) haben sie die Werte:

${\displaystyle f^{123}=1,~f^{147}=f^{246}=f^{257}=f^{345}={\frac {1}{2}},~f^{156}=f^{367}=-{\frac {1}{2}},~f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

Jeden Satz von Matrizen, die die Kommutatorrelation erfüllen, kann man als Generatoren der Gruppe verwenden.

Die Gell-Mann-Matrizen sind ein Standardsatz solcher Matrizen. Mit den obigen Generatoren sind sie (analog zu den Pauli-Matrizen) verknüpft durch:

${\displaystyle T_{a}={\frac {1}{2}}\lambda _{a}}$

Sie sind als 3×3-Matrizen gewählt und haben die Form:

${\displaystyle \lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} &0\\\mathrm {i} &0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-\mathrm {i} \\0&0&0\\\mathrm {i} &0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-\mathrm {i} \\0&\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.}$

Die ersten drei ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$ erkennt man praktisch als die drei Pauli-Matrizen wieder, die eine SU(2) Untergruppe erzeugen.

Die ${\displaystyle \lambda }$-Matrizen haben folgende Eigenschaften:

• Sie sind hermitesch, haben also nur reelle Eigenwerte.
• Sie sind spurlos, das heißt ${\displaystyle \operatorname {tr} (\lambda _{i})=0}$.
• Sie sind orthogonal bezüglich des Frobenius-Skalarprodukts, das heißt ${\displaystyle \operatorname {tr} (\lambda _{i}\lambda _{j})=2\delta _{ij}}$.

Anwendung finden sie z. B. bei Berechnungen in der Quantenchromodynamik, die durch eine SU(3)-Theorie beschrieben wird. Daraus kann man auch die Wahl als 3×3-Matrizen verstehen, da die Matrizen auf Farbladungstriplets wirken sollen.

Siehe auch

• Standardmodell (Eichgruppe: SU(3)×SU(2)×U(1))
• Quarks

Literatur

• Howard Georgi: Lie algebras in particle physics. ISBN 0-7382-0233-9
• J. J. J. Kokkedee: The Quark model. OCLC 474207457