Fortsetzungssatz von Tietze

Der Fortsetzungssatz von Tietze (englisch Tietze(’s) extension theorem^[1][2][3]), auch als Erweiterungssatz von Tietze^[4] oder als Satz von Tietze-Urysohn^[5] genannt, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie. Er setzt normale topologische Räume mit stetigen Fortsetzungen in Beziehung. Veröffentlicht wurde der Satz im Jahr 1915 von Heinrich Tietze.

Der Satz ist eine Verallgemeinerung des Urysohnschen Lemmas und kann in vielen Fällen angewendet werden, da alle metrischen Räume und alle kompakten Hausdorff-Räume normal sind.

Fortsetzungssatz von Tietze

Ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$ ist genau dann ein normaler Raum, wenn zu jeder auf einer abgeschlossenen Teilmenge ${\displaystyle A}$ von ${\displaystyle X}$ definierten, stetigen Funktion

${\displaystyle f\colon A\rightarrow \mathbb {R} }$

eine stetige Funktion

${\displaystyle F\colon X\rightarrow \mathbb {R} }$

existiert mit ${\displaystyle F|_{A}=f}$, d. h. ${\displaystyle F(a)=f(a)}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$. Die Funktion ${\displaystyle F}$ wird als stetige Fortsetzung von ${\displaystyle f}$ bezeichnet.

Dies ist ein reiner Existenzsatz. Bis auf wenige Ausnahmen ist eine solche stetige Fortsetzung nicht eindeutig, d. h., es kann zu gegebener Funktion ${\displaystyle f}$ mehr als eine Funktion ${\displaystyle F}$ mit der gesuchten Eigenschaft geben.

Stärkere Fassung

Der Fortsetzungssatz von Tietze lässt sich in noch stärkerer Fassung formulieren:^[5]

Ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$ ist dann und nur dann ein normaler Raum, wenn zu jeder beliebigen stetigen Abbildung der Form ${\displaystyle f\colon A\rightarrow \Pi }$ mit einem abgeschlossenen ${\displaystyle A\subseteq X}$ und einem aus Intervallen von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ bestehenden Produktraum ${\displaystyle \Pi }$ stets eine stetige Fortsetzung ${\displaystyle F\colon X\rightarrow \Pi }$ existiert.

Für die Anwendungen des Satzes ist insbesondere der Fall ${\displaystyle f\colon A\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ bedeutsam.

Beispiel

In metrischen Räumen ${\displaystyle (X,d)}$ kann eine Fortsetzung explizit angegeben werden: Es seien ${\displaystyle A\subset X}$ abgeschlossen und ${\displaystyle f\in C(A)}$ nichtnegativ. Dann ist

${\displaystyle F(x):={\begin{cases}f(x),&x\in A\\\inf _{a\in A}\{f(a)+{\frac {d(x,a)}{d(x,A)}}-1\},&x\in X\setminus A\end{cases}}}$

eine stetige Fortsetzung von ${\displaystyle f}$ auf ganz ${\displaystyle X}$.

Siehe auch

• Lemma von Urysohn
• Interpolationssatz von Katětov

Literatur

• Graham J. O Jameson: Topology and normed spaces. Chapman and Hall, London 1974, ISBN 0-412-12880-2.
• John L. Kelley: General topology (= Graduate Texts in Mathematics. Band 27). Springer, New York NY u. a. 1975, ISBN 3-540-90125-6 (Reprint of the 1955 edition published by Van Nostrand, New York).
• C. Wayne Patty: Foundations of Topology. PWS-Kent Publishing, Boston MA 1993, ISBN 0-534-93264-9.
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.
• Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 79). Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1975, ISSN 0073-2842.
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. 4. Auflage. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.
• Heinrich Tietze: Über Funktionen, die auf einer abgeschlossenen Menge stetig sind. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Heft 145. Jahrgang, 1915, S. 9–14, doi:10.1515/crll.1915.145.9. Digitalisat.
• Paul Urysohn: Über die Mächtigkeit der zusammenhängenden Mengen. In: Mathematische Annalen. Band 94. Jahrgang, 1925, S. 262–295, doi:10.1515/crll.1915.145.9. Digitalisat (PDF; 1,98 MB).

Einzelnachweise

1. Kelley: General topology. 1975, S. 176.
2. Patty: Foundations of Topology. 1993, S. 176.
3. Jameson: Topology and normed spaces. 1974, S. 113.
4. Rinow: Lehrbuch der Topologie. 1975, S. 170.
5. Schubert: Topologie. 1975, S. 83.