Fixpunktsatz

Ein Fixpunktsatz ist in der Mathematik ein Satz, der unter gewissen Voraussetzungen die Existenz von Fixpunkten einer Abbildung ${\displaystyle f\colon X\to X}$ garantiert. Das heißt, der Satz garantiert die Existenz eines Punktes ${\displaystyle x\in X}$ mit ${\displaystyle f(x)\,=\,x}$.^[1]

Überblick

In vielen Teilgebieten der Mathematik sucht man Aussagen über die Existenz von Fixpunkten. Einer der bekanntesten Fixpunktsätze ist der Fixpunktsatz von Banach.^[2] Mit dessen Hilfe kann der Satz von Picard-Lindelöf bewiesen werden, der eine eindeutige Lösung bestimmter gewöhnlicher Differentialgleichungen sichert. Im Gegensatz zu anderen Fixpunktsätzen ergibt der Fixpunktsatz von Banach auch die Eindeutigkeit des Fixpunktes.^[3]

Der Fixpunktsatz von Schauder ist ebenfalls im Bereich der Analysis wichtig. Eigentlich ist er ein Satz aus der Topologie und wird mithilfe des Fixpunktsatzes von Brouwer bewiesen. Jedoch kann man aus ihm beispielsweise den Satz von Peano herleiten, der ebenfalls die Existenz einer Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung sichert. Eine zentrale Rolle spielt dieser Satz auch in der nichtlinearen Funktionalanalysis.^[3] So lässt sich eine anwendungsreiche Version des Satzes für nichtlineare kompakte Operatoren formulieren.

Liste von Fixpunktsätzen

Im Folgenden werden Fixpunktsätze unterteilt nach ihren Fachgebieten aufgelistet. Diese Liste ist natürlich unvollständig.

Analysis und Funktionalanalysis

• Fixpunktsatz von Banach
• Fixpunktsatz von Browder-Göhde-Kirk
• Fixpunktsatz für ganze Funktionen
• Fixpunktsatz von Kakutani
• Fixpunktsatz von Krasnoselski
• Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski
• Fixpunktsatz von Schauder
• Fixpunktsatz von Weissinger

Differentialgeometrie

• Atiyah-Bott-Fixpunktsatz

Gruppentheorie

• Fixpunktsatz (Endliche Gruppen)
• Borelscher Fixpunktsatz

Verbandstheorie

• Fixpunktsatz von Tarski und Knaster

Logik

• Fixpunktsatz von Gödel

Topologie

• Fixpunktsatz von Brouwer
• Fixpunktsatz von Lefschetz
• Leray-Schauder-Alternative

Informatik

• Fixpunktsatz von Kleene

Kategorientheorie

• Fixpunktsatz von Lawvere

Literatur

• Saleh Almezel, Qamrul Hasan Ansari, Mohamed Amine Khamsi (Hrsg.): Topics in Fixed Point Theory. Springer International Publishing, Cham 2014, ISBN 978-3-319-01585-9, doi:10.1007/978-3-319-01586-6 (englisch).
• Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 1985, ISBN 978-3-662-00549-1, doi:10.1007/978-3-662-00547-7.
• Vittorino Pata: Fixed Point Theorems and Applications (= UNITEXT. Band 116). Springer International Publishing, Cham 2019, ISBN 978-3-03019669-1, doi:10.1007/978-3-030-19670-7 (englisch).
• Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). 8., vollständig überarbeitete Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2018, ISBN 978-3-662-55406-7, doi:10.1007/978-3-662-55407-4.
• Eberhard Zeidler: Applied Functional Analysis (= Jerrold Marsden, L. Sirovich [Hrsg.]: Applied Mathematical Sciences. Band 108). Springer New York, New York, NY 1995, ISBN 978-1-4612-6910-6, doi:10.1007/978-1-4612-0815-0 (englisch).

Einzelnachweise

1. Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2018, ISBN 978-3-662-55406-7, doi:10.1007/978-3-662-55407-4 (springer.com [abgerufen am 6. November 2022]).
2. Stefan Banach: Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales. In: Fundamenta Mathematicae. Band 3, Nr. 1, 1922, ISSN 0016-2736, S. 133–181 (eudml.org [abgerufen am 6. November 2022]).
3. Michael Růžička: Nichtlineare Funktionalanalysis: Eine Einführung. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2020, ISBN 978-3-662-62190-5, doi:10.1007/978-3-662-62191-2 (springer.com [abgerufen am 6. November 2022]).