Schwingkreis

Ein elektrischer Schwingkreis, auch als Resonanzkreis bezeichnet, ist eine resonanzfähige elektrische Schaltung aus einer Spule (Bauteil L) und einem Kondensator (Bauteil C), die elektrische Schwingungen ausführen kann. Der elektrische Schwingkreis wird oft mit dem harmonischen Oszillator der Mechanik wie dem Federpendel oder der Stimmgabel verglichen. Bei diesem LC-Schwingkreis wird Energie zwischen dem magnetischen Feld der Spule und dem elektrischen Feld des Kondensators periodisch ausgetauscht, wodurch abwechselnd hohe Stromstärke oder hohe Spannung vorliegen. Die Resonanzfrequenz berechnet sich zu:

${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}\ ,}$

wobei ${\displaystyle L}$ für die Induktivität der Spule und ${\displaystyle C}$ für die Kapazität des Kondensators stehen. Diese Gleichung heißt Thomsonsche Schwingungsgleichung.

Wird ein Schwingkreis durch einen Schaltvorgang oder einen Impuls einmalig angestoßen, dann führt er freie Schwingungen (Eigenschwingungen) aus, die in der Realität aufgrund von Verlusten nach einer gewissen Zeit abklingen. Wird er jedoch im Bereich seiner Resonanzfrequenz periodisch erregt, dann führt er erzwungene Schwingungen aus. Die dabei auftretenden Resonanzerscheinungen haben für die praktische Anwendung überragende Bedeutung.

Bei einem Schwingkreis mit äußerer Anregung unterscheidet man je nach Anordnung in Bezug zur Anregungsquelle zwischen Parallelschwingkreis (L parallel zu C) und Reihenschwingkreis (L in Reihe zu C). Unpräzise wird der Reihenschwingkreis manchmal auch als Serienschwingkreis bezeichnet.

Ähnliche Schaltungen aus Spule und Kondensator werden auch als LC-Glieder bezeichnet, sie befinden sich jedoch nicht zwingend in Resonanz (siehe Tiefpass, Hochpass).

Allgemeiner Schwing­kreis, Darstellung mit Schalt­zeichen gemäß EN 60617-4:1996

Zustandekommen von freien Schwingungen im idealen Schwingkreis

Für eine nach außen abgeschlossene Schaltung aus idealen (verlustfreien) Bauelementen, die eine gewisse Energie enthalten, ergibt sich ein periodischer Vorgang. Zur Beschreibung wird der Zustand zu einem willkürlich gewählten Zeitpunkt als Anfangszustand festgelegt.

U: Spannung; I: Strom; W: Energie

Spannungsverlauf (blau gestrichelt) und Stromverlauf (rote Linie) im Schwingkreis

1. Zunächst sei die Spule ohne magnetischen Fluss. Der Kondensator sei geladen und in seinem elektrischen Feld die gesamte Energie des Schwingkreises gespeichert. Noch fließe kein Strom durch die Spule und die Kondensatorspannung sei maximal (Bild 1).
2. Aufgrund der Kondensatorspannung setze nun ein Stromfluss ein, der nach der Lenz’schen Regel eine entgegengesetzt gleich große Spannung an der Spule induziert, die dessen Änderung entgegenwirkt. Damit steigen Stromstärke und magnetischer Fluss nur langsam (anfangs linear mit der Zeit) an. Mit ansteigendem Strom wird im Laufe der Zeit im Kondensator Ladung abgebaut, womit zugleich dessen Spannung absinkt. Mit der Verringerung der Spannung verringert sich das Anwachsen des Stromflusses.
3. Wenn die Spannung auf null abgesunken ist, steigen Strom und magnetischer Fluss nicht mehr an, beide erreichen ihr Maximum. Zu diesem Zeitpunkt ist auch die magnetische Feldstärke der Spule am größten und der Kondensator vollständig entladen. Die gesamte Energie ist nun im Magnetfeld der Spule gespeichert. (Bild 2)
4. Bei spannungsfreier Spule fließt der Strom stetig weiter, da er sich – genau wie der Magnetfluss – nicht abrupt ändern kann. Der Strom beginnt, den Kondensator in Gegenrichtung zu laden und baut in ihm eine Spannung ebenfalls in Gegenrichtung auf (anfangs linear mit der Zeit), die den Strom und somit auch den magnetischen Fluss verringern. Dies verursacht nach der Lenz’schen Regel eine entgegengesetzt gleich große Spannung an der Spule, die die Verringerung von Strom und magnetischen Fluss zu verhindern sucht.
5. Wenn die Stromstärke auf null zurückgegangen ist, steigt der Betrag der Spannung nicht mehr an und erreicht somit sein Maximum. Der Kondensator erlangt seine ursprüngliche Ladung wieder, allerdings bei entgegengesetzter Polung. Die gesamte magnetische Feldenergie ist wieder in elektrische Feldenergie überführt worden. (Bild 3)
6. Diese Vorgänge setzen sich in entgegengesetzter Richtung fort. (Bild 4, dann wieder Bild 1)

Bei fortlaufender Wiederholung stellt sich der Spannungsverlauf gemäß der Kosinusfunktion ein; der Stromverlauf folgt der Sinusfunktion. Der Übergang von Bild 1 zu Bild 2 entspricht in den Funktionen dem Bereich x = 0 … π/2; der Übergang von Bild 2 zu Bild 3 verläuft wie im Bereich x = π/2 … π, von Bild 3 über Bild 4 zu Bild 1 wie in x = π … 2π.

Freie Schwingungen im realen Reihenschwingkreis

Reihenschwingkreis mit Bepfeilung wie oben in der Annahme. Maschenregel liefert ${\displaystyle u_{C}+Ri+L{\frac {di}{dt}}=0}$

In erster Näherung kann man die im realen Schwingkreis auftretenden Verluste durch einen ohmschen Widerstand R darstellen, der in Reihe mit der Induktivität L liegt. Ausgehend vom Maschensatz und dem Verhalten der drei Bauelemente (und der Annahme, dass Strom- und Spannungspfeile alle die gleiche Umlaufrichtung haben) kann ein solcher RLC-Reihenschwingkreis durch folgendes (lineares) Differentialgleichungssystem (in Zustandsform mit der Kondensatorspannung u_C und dem Spulenstrom i als Zustandsgrößen) beschrieben werden:

${\displaystyle L\cdot {\frac {di}{dt}}=-u_{C}-R\cdot i}$

${\displaystyle C\cdot {\frac {du_{C}}{dt}}=i}$

Interessiert man sich nur für den Strom im Schwingkreis, dann kann man (durch Eliminieren von u_C) dieses DGL-System in eine einzige lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung umformen:

${\displaystyle LC\cdot {\frac {d^{2}i}{dt^{2}}}+RC\cdot {\frac {di}{dt}}+i=0}$

Mit den „Abkürzungen“ für die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$

und für die Abklingkonstante

${\displaystyle \delta ={\frac {R}{2L}}}$

erhält man die Differentialgleichung

${\displaystyle {\frac {d^{2}i}{dt^{2}}}+2\delta \cdot {\frac {di}{dt}}+\omega _{0}^{2}\cdot i=0}$

Die Differentialgleichung für die Kondensatorspannung hat die gleiche Form. Für die zur eindeutigen Lösung benötigten zwei Anfangsbedingungen nimmt man meist an, dass zum Zeitpunkt t=0 der Kondensator mit einer Spannung U_C0 aufgeladen und der Strom durch die Induktivität 0 ist.

Realer Schwingkreis

Allgemein lässt sich ein realer Schwingkreis mit dem Modell des gedämpften, harmonischen Oszillators beschreiben. Geht man davon aus, dass die Verluste im Schwingkreis gering sind, konkret, dass ${\displaystyle \delta <\omega _{0}{\text{ oder }}R<2{\sqrt {L/C}}}$ ist, und führt noch die gedämpfte Eigenkreisfrequenz

${\displaystyle \omega _{d}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\delta ^{2}}}}$

ein, dann erhält man mit den klassischen Methoden zur Lösung einer linearen homogenen Differentialgleichung, mit Hilfe der Laplace-Transformation oder mit Hilfe einer anderen Operatorenrechnung die Lösungsfunktionen für die beiden Zustandsgrößen

${\displaystyle i(t)=-{\frac {U_{C0}}{\omega _{d}L}}\cdot e^{-\delta t}\cdot \sin {\omega _{d}t}}$

${\displaystyle u_{C}(t)=U_{C0}\cdot e^{-\delta t}\cdot \left(\cos {\omega _{d}t+{\frac {\delta }{\omega _{d}}}\cdot \sin {\omega _{d}t}}\right)=U_{C0}\cdot {\frac {\omega _{0}}{\omega _{d}}}\cdot e^{-\delta t}\cdot \cos \left({\omega _{d}t-\varphi }\right)}$

mit ${\displaystyle \varphi =\arctan {\frac {\delta }{\omega _{d}}}}$. Das Minuszeichen vor dem Strom kommt durch die Stromrichtung bei der Entladung zustande. Die Richtigkeit der Lösungen kann durch Einsetzen in die Differentialgleichungen und durch Kontrolle des Anfangszustandes geprüft werden.

In diesem „Normalfall der Praxis“ sind Strom und Kondensatorspannung durch den Faktor ${\displaystyle e^{-\delta t}}$ schwach gedämpft und nicht genau gegeneinander 90° in der Phase verschoben. Die gedämpfte Eigenkreisfrequenz ω_d liegt durch die Dämpfung unterhalb der ungedämpften Eigenkreisfrequenz ω₀. Mit stärker werdenden Verlusten wird sie immer geringer.

Idealer Schwingkreis

Für den Idealfall eines Schwingkreises ohne Verluste erhält man mit ${\displaystyle \delta =0}$ die oben anschaulich beschriebene Lösung der ungedämpften harmonischen (um 90° phasenverschobenen) Schwingungen.

${\displaystyle i(t)=-{\frac {U_{C0}}{\omega _{0}L}}\cdot \sin {\omega _{0}t}}$

${\displaystyle u_{C}(t)=U_{C0}\cdot \cos {\omega _{0}t}}$

Aperiodischer Grenzfall

Sind die Verluste größer, dann wird im Sonderfall ${\displaystyle \delta =\omega _{0}{\text{ oder }}R=2{\sqrt {L/C}}}$ „ohne Überschwingen“ der Ruhezustand am schnellsten wieder erreicht. Dieses Verhalten nennt man den aperiodischen Grenzfall. Dann erhält man

${\displaystyle i(t)=-{\frac {U_{C0}}{L}}\cdot t\cdot e^{-\delta t}}$

${\displaystyle u_{C}(t)=U_{C0}\cdot \left(1+\delta t\right)\cdot e^{-\delta t}}$

Kriechfall

Wenn schließlich ${\displaystyle \delta >\omega _{0}}$ gilt, dann entsteht ebenfalls keine Schwingung mehr. Je größer die Dämpfung ist, umso langsamer kriechen Strom und Spannung gegen 0. Dieses Verhalten nennt man den (aperiodischen) Kriechfall. Führt man die „Kriechkonstante“

${\displaystyle \kappa ={\sqrt {\delta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$

ein, dann gilt für den Strom

${\displaystyle i(t)=-{\frac {U_{C0}}{\kappa L}}\cdot e^{-\delta t}\cdot \sinh {\kappa t}}$

Erzwungene Schwingungen im Parallelschwingkreis

Parallelschwingkreis

Für die nachfolgende Beschreibung der erzwungenen Schwingungen wird als Erregung der Schwingkreise eine sinusförmige Wechselspannung angenommen, welche schon solange anliegt, dass die Eigenschwingungen durch den Einschaltvorgang aufgrund der Verlustdämpfung abgeklungen sind. Man spricht dann vom stationären Vorgang und kann zur Analyse Zeigerdiagramme oder/und die komplexe Wechselstromrechnung benutzen.

Idealer Parallelschwingkreis

Eine Spule und ein Kondensator liegen parallel an derselben Spannung. Bei diesem idealen Schwingkreis aus verlustlosen Bauteilen ist der an den Klemmen beobachtbare Widerstand bei der auftretenden Parallelresonanz unendlich groß.

Strom- und Spannungs-Zeiger zum Parallelschwingkreis

Bei einer Kapazität C eilt der Phasenwinkel φ des Stroms gegenüber dem der anliegenden Spannung um 90° voraus, d. h. die Spannung liegt in der Phase um 90° hinter dem Strom zurück; siehe Zeigerdiagramm.

• Merksatz: Beim Kondensator eilt der Strom vor.

Bei einer Induktivität L läuft die Stromphase gegenüber der Spannungsphase um 90° nach.

• Merksatz: In der Induktivität kommt der Strom zu spät.

Wenn der Pfeil für ${\displaystyle {\underline {I}}_{C}}$ länger als der Pfeil für ${\displaystyle {\underline {I}}_{L}}$ ist, so ist in der Parallelschaltung der kapazitive Widerstand kleiner als der induktive Widerstand; die Frequenz liegt im betrachteten Fall höher als die Resonanzfrequenz. (Bei Resonanz sind die Pfeile für ${\displaystyle {\underline {I}}_{C}}$ und ${\displaystyle {\underline {I}}_{L}}$ gleich lang.) Der resultierende Strom ${\displaystyle {\underline {I}}_{ges}}$ in den Zuleitungen zum Schwingkreis ergibt sich durch Addition von ${\displaystyle {\underline {I}}_{L}}$ und ${\displaystyle {\underline {I}}_{C}}$.

In den Beträgen ist der Gesamtstrom stets kleiner als der größere Einzelstrom durch C oder L. Je näher man an die Resonanzfrequenz herankommt, desto mehr geht ${\displaystyle {\underline {I}}_{ges}}$ gegen null. Anders gesagt: Nahe bei der Resonanzfrequenz ist der innerhalb des Schwingkreises fließende Strom wesentlich größer als der Strom in den Zuleitungen (Stromüberhöhung).

Der Summen-Strompfeil zeigt bei der vorliegenden Zeichnung nach oben. Das bedeutet, dass sich der Schwingkreis bei der vorliegenden Frequenz wie ein Kondensator geringer Kapazität verhält; die Frequenz liegt oberhalb der Resonanzfrequenz. Präzise bei Resonanzfrequenz ist ${\displaystyle {\underline {I}}_{ges}=0}$, und der Parallelschwingkreis lässt keinen Strom durch. Unterhalb der Resonanzfrequenz zeigt ${\displaystyle {\underline {I}}_{ges}}$ nach unten, und der Schwingkreis wirkt wie eine Induktivität.

Die Ströme werden durch den kapazitiven und induktiven Wechselstrom- oder Blindwiderstand begrenzt. Für eine Spule mit der Induktivität ${\displaystyle L}$ und ihrer Strom-Spannungs-Gleichung ${\displaystyle {\underline {U}}=\mathrm {j} \omega L\,{{\underline {I}}_{L}}}$ gilt bei der Frequenz ${\displaystyle f}$ bzw. der Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega =2\pi f}$

${\displaystyle X_{L}=\mathrm {Im} \,{\frac {\underline {U}}{{\underline {I}}_{L}}}=\omega L=2\pi fL\ ,}$

entsprechend für einen Kondensator mit ${\displaystyle {{\underline {I}}_{C}}=\mathrm {j} \omega C\,{\underline {U}}}$ und der Kapazität ${\displaystyle C}$:

${\displaystyle X_{C}=\mathrm {Im} \,{\frac {\underline {U}}{{\underline {I}}_{C}}}=-{\frac {1}{\omega C}}=-{\frac {1}{2\pi fC}}\ .}$

Das negative Vorzeichen steht für die entgegengesetzte Richtung des Strompfeiles. (Zur verwendeten Vorzeichenkonvention siehe Anmerkung unter Blindwiderstand, zur Herleitung siehe unter Komplexe Wechselstromrechnung).

Zur Berechnung der Resonanzfrequenz ${\displaystyle f_{0}}$ des idealen Schwingkreises geht man davon aus, dass der Scheinwiderstand an den Klemmen unendlich groß ist, also der Leitwert der Parallelschaltung null.

${\displaystyle 1/X_{C}+1/X_{L}=0\ }$

${\displaystyle \omega _{0}C={\frac {1}{\omega _{0}L}}}$

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}}$

oder ${\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}\ .}$

Realer Parallelschwingkreis

Ein realer Schwingkreis enthält in der Spule und dem Kondensator immer auch Verluste; den ohmschen Widerstand der Leitungen und der Spulenwicklung, dielektrische Verluste im Kondensator und abgestrahlte elektromagnetische Wellen. Es verbleibt dann ein restlicher Strom ${\displaystyle I_{R}}$ an den Klemmen, der mit ${\displaystyle U}$ phasengleich ist und der auch im Falle der Resonanz nicht zu null wird. Daher wird beim realen Parallelschwingkreis der Resonanzwiderstand nicht unendlich groß. Der Scheinwiderstand ${\displaystyle Z}$ erreicht lediglich ein Maximum.

Parallelschwingkreis mit verlustbehafteter Spule

Die Verluste des Kondensators kann man meistens gegenüber den Spulenverlusten vernachlässigen. Für die verlustbehaftete Spule verwendet man vorzugsweise ihr Reihenersatzschaltbild mit ${\displaystyle L}$ und ${\displaystyle R_{L}}$. Nach Transformation in ihr Parallelersatzschaltbild mit ${\displaystyle L_{p}}$ und ${\displaystyle R_{p}}$ erhält man die im Bild rechte Schaltung. Der Leitwert der Parallelschaltung aus ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle L_{p}}$ ist im Resonanzfall null. In diesem Fall beschränkt sich die elektrische Impedanz im Parallelschwingkreis auf ${\displaystyle R_{p}}$, den (definitionsgemäß rein ohmschen) Resonanzwiderstand; dieser ergibt sich zu:

${\displaystyle Z_{\mathrm {r} }=R_{p\ \mathrm {r} }={\frac {L}{R_{L}C}}}$

Die oben angegebene Resonanzfrequenz des idealen Schwingkreises ${\displaystyle f_{0}}$ gilt bei ${\displaystyle R_{L}=0}$. Bei dem hier behandelten realen Schwingkreis ergibt sich anhand des Parallelersatzschaltbildes

Ortskurve der Impedanz eines realen Parallelschwingkreises
${\displaystyle C}$ = 0,1 μF; ${\displaystyle L}$ = 50 μH; ${\displaystyle R_{L}}$ = 5 Ω

${\displaystyle f_{\mathrm {r} }={\frac {1}{2\pi {\sqrt {L_{p}C}}}}}$

Sie ist typisch (siehe folgendes Beispiel) etwas kleiner als ${\displaystyle f_{0}}$ und lässt sich umrechnen zu

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\mathrm {r} }&={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{LC}}-{\frac {{R_{L}}^{2}}{L^{2}}}}}\\&=f_{0}{\sqrt {1-{\frac {R_{L}}{Z_{\mathrm {r} }}}}}\end{aligned}}}$

Diese Resonanzfrequenz für erzwungene Schwingungen hat einen anderen Wert als die oben angegebene Eigenfrequenz für freie Schwingungen.

Die gezeigte Ortskurve veranschaulicht Eigenschaften eines Parallelschwingkreises an einem konkreten Beispiel:

1. Bei Resonanz hat der Schwingkreis einen endlich hohen rein ohmschen Widerstand ${\displaystyle Z_{r}}$;
   anschaulich ist ${\displaystyle Z_{r}}$ die Länge des Zeigers bei waagerechter Lage;
   im Beispiel beträgt ${\displaystyle Z_{r}}$ das Zwanzigfache des Gleichstromwiderstands ${\displaystyle R_{L}}$.
2. Der Resonanzwiderstand ist nicht zugleich das Maximum des Scheinwiderstandes ${\displaystyle Z_{\mathrm {max} }}$;
   anschaulich tritt ${\displaystyle Z_{\mathrm {max} }}$ beim maximalen Abstand der Ortskurve vom Nullpunkt etwas unterhalb der reellen Achse auf;
   im Beispiel ist ${\displaystyle Z_{r}}$ etwa 2,5 % kleiner als ${\displaystyle Z_{\mathrm {max} }}$.
3. Die tatsächliche Resonanzfrequenz ${\displaystyle f_{r}}$ liegt niedriger als die nach der thomsonschen Schwingungsgleichung berechnete Frequenz ${\displaystyle f_{0}}$;
   dieses sieht man an den Frequenzwerten längs der Ortskurve;
   im Beispiel ist ${\displaystyle f_{r}}$ etwa 2,5 % kleiner als ${\displaystyle f_{0}}$.
4. ${\displaystyle Z_{\mathrm {max} }}$ tritt bei einer Frequenz nahe bei ${\displaystyle f_{0}}$ auf. Bei ${\displaystyle f_{0}}$ ist der Wirkanteil der Impedanz exakt gleich ${\displaystyle Z_{r}}$. Hinzu kommt aber ein deutlicher kapazitiver Blindanteil;
   anschaulich weist ${\displaystyle {\underline {Z}}_{\mathrm {max} }}$ einen Blindanteil durch den senkrechten Anteil des Zeigers auf;
   im Beispiel ist bei ${\displaystyle {\underline {Z}}_{\mathrm {max} }}$ der Betrag des Blindwiderstands größer als 22 % von ${\displaystyle Z_{r}}$.

Phasenverschiebung

Messschaltung der Phasenverschiebung bei Resonanz

Phasenverschiebung am Schwingkreis bei geringer und starker Dämpfung

Wird ein Schwingkreis durch einen externen Oszillator und schwache induktive Kopplung (siehe Messschaltung) zu erzwungenen Schwingungen angeregt, reagiert er mit einer Phasenverschiebung zwischen 0° bei extrem tiefen Frequenzen und 180° bei sehr hohen Frequenzen. Bei Resonanzfrequenz f₀ beträgt die Phasenverschiebung genau 90°.

In der Umgebung der Resonanzfrequenz ist die Abweichung der Phasenverschiebung φ von 90° fast proportional zur Abweichung der Frequenz f. Das wird bei Demodulationsschaltungen von Frequenzmodulation ausgenutzt.

${\displaystyle \varphi -90^{\circ }=k\cdot (f-f_{0})}$

Der Proportionalitätsfaktor k ist umso größer, je kleiner die Dämpfung des Schwingkreises ist. Diese lässt sich durch den Reihenwiderstand zur Induktivität ändern. Bei verschwindender Dämpfung hätte die Kurve die Form einer Heaviside-Funktion.

Erzwungene Schwingungen im Reihenschwingkreis

Schaltbild zu erzwungenen Schwingungen im Reihenschwingkreis.
Maschenregel liefert: ${\displaystyle u_{e}=u_{C}+R\,i+u_{L}}$

Amplitudengang des Stroms ${\displaystyle i_{0}(\omega )}$ für verschiedene Widerstandswerte ${\displaystyle R}$ .

Analog zur Behandlung der freien Schwingungen im realen Reihenschwingkreis ergibt sich für eine Reihenschaltung von Kapazität ${\displaystyle C}$, Widerstand ${\displaystyle R}$ und Induktivität ${\displaystyle L}$, an welche eine äußere Spannung ${\displaystyle u_{e}(t)}$ einer idealen Wechselspannungsquelle angelegt wird, mit dem Maschensatz folgende Gleichung (Bepfeilung siehe Schaltbild: Ideale Wechselspannungsquelle im EZV, übrige Schaltelemente im VZS):

${\displaystyle u_{e}=u_{C}+R\cdot i+u_{L}}$ ${\displaystyle \quad \quad (*)}$

Hierbei ist ${\displaystyle u_{C}=Q/C}$ und ${\displaystyle u_{L}=L{\frac {di}{dt}}}$. Einsetzen und Differenzieren nach der Zeit ergibt

${\displaystyle {\frac {du_{e}}{dt}}={\frac {i}{C}}+R\cdot {\frac {di}{dt}}+L\cdot {\frac {d^{2}i}{dt^{2}}}}$

Dies ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung und lässt sich besonders leicht mit einem komplexen Ansatz lösen. Natürlich muss jede physikalische Lösung reell sein. Aufgrund der Linearität der Gleichung müssen Real- und Imaginärteil einer Lösung jeder für sich die Gleichung lösen. Wiederum aufgrund der Linearität ist jede reelle Linearkombination reeller Lösungen eine physikalische Lösung.

Einsetzen des komplexen Ansatzes (imaginäre Einheit hier: ${\displaystyle \mathrm {j} }$)

${\displaystyle {\underline {u}}_{e}(t)=u_{0}\cdot e^{\mathrm {j} \omega t}}$, ${\displaystyle \;}$ ${\displaystyle {\underline {i}}(t)=i_{0}\cdot e^{\mathrm {j} (\omega t-\varphi )}}$

in die Differentialgleichung liefert

${\displaystyle \mathrm {j} \,\omega {\underline {u}}_{e}={\bigl (}{\frac {1}{C}}+\mathrm {j} \,\omega R-L\omega ^{2}{\bigr )}{\underline {i}}}$

Damit ergibt sich für die Gesamtimpedanz

${\displaystyle {\underline {Z}}={\frac {{\underline {u}}_{e}}{\underline {i}}}={\frac {u_{0}}{i_{0}}}\,e^{\mathrm {j} \varphi }=R+\mathrm {j} {\biggl (}\omega L-{\frac {1}{\omega C}}{\biggr )}}$ ${\displaystyle \quad \quad (**)}$

und deren Betrag (Scheinwiderstand) entsprechend

${\displaystyle |{\underline {Z}}|={\frac {u_{0}}{i_{0}}}={\sqrt {R^{2}+{\biggl (}\omega L-{\frac {1}{\omega C}}{\biggr )}^{2}}}}$ ${\displaystyle \quad \quad (1)}$

Die Phasenverschiebung ${\displaystyle \varphi }$ erhält man aus

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {\mathrm {Im} \,{\underline {Z}}}{\mathrm {Re} \,{\underline {Z}}}}={\frac {\omega L-{\frac {1}{\omega C}}}{R}}}$ ${\displaystyle \quad \quad (2)}$

Gibt man beispielsweise als äußere harmonische Erregung ${\displaystyle u_{e}(t):=\mathrm {Re} \{{\underline {u}}_{e}(t)\}=u_{0}\cos(\omega t)}$ mit frei wählbarer Amplitude ${\displaystyle u_{0}>0}$ und Erreger(kreis)frequenz ${\displaystyle \omega >0}$ vor, so löst der Strom

${\displaystyle i(t):=\mathrm {Re} \{{\underline {i}}(t)\}=i_{0}\cos(\omega t-\varphi )}$

zusammen mit der vorgegebenen Erregung obige Differentialgleichung. Die Parameter ${\displaystyle i_{0}}$ und ${\displaystyle \varphi }$ des Stroms sind hierbei über ${\displaystyle (1)}$ und ${\displaystyle (2)}$ eindeutig festgelegt, da ${\displaystyle R,L,C}$ als Kenngrößen des Schwingkreises sowie Erregeramplitude ${\displaystyle u_{0}>0}$ und Erregerfrequenz ${\displaystyle \omega >0}$ vorgegeben sind. Hervorzuheben ist hierbei die Abhängigkeit der Phasenverschiebung ${\displaystyle \varphi =\varphi (\omega )}$ sowie der Stromamplitude

${\displaystyle i_{0}(\omega )={\frac {u_{0}}{\sqrt {R^{2}+{\biggl (}\omega L-{\frac {1}{\omega C}}{\biggr )}^{2}}}}}$ ${\displaystyle \quad \quad (3)}$

von der Erregerfrequenz ${\displaystyle \omega }$ (s. Abb. rechts). Die Frequenz, bei der die Stromamplitude ihr Maximum erreicht, heißt Resonanzfrequenz ${\displaystyle \omega _{r}=1/{\sqrt {LC}}}$ des Reihenschwingkreises. Dieser Fall heißt Amplitudenresonanz und ${\displaystyle i_{0}(\omega _{r})=u_{0}/R}$ Resonanzamplitude. Die Resonanzfrequenz stimmt mit der ungedämpften Eigenfrequenz bei freien Schwingungen im Reihenschwingkreis überein.

Reihenschwingkreis

Ein Reihenschwingkreis, an dem eine Wechselspannung mit einstellbarer Frequenz angelegt wird.

Idealer Reihenschwingkreis

Beim LC-Reihenschwingkreis sind Spule und Kondensator in Reihe geschaltet; er ergibt sich oben als Spezialfall für ${\displaystyle R=0}$. Durch beide fließt derselbe Wechselstrom, der eine mit seiner Frequenz erzwungene Schwingung veranlasst. Bei sinusförmiger Anregung bildet sich an der Spule eine gegenüber dem Strom um 90° voreilende Spannung aus, am Kondensator eine um 90° nacheilende. Die Spannungen sind gegeneinander gerichtet, so dass deren Summe dem Betrage nach stets kleiner ist als die jeweils größere Einzelspannung. Im Sonderfall heben sie sich auf, was einem Kurzschluss entspricht. Dieser Fall heißt Reihenresonanz oder Serienresonanz eines LC-Reihenschwingkreises und entspricht einer "elektrischen Resonanzkatastrophe" (sieh Abb. Amplitudengang oben). Er wird erreicht bei der Resonanzfrequenz des Schwingkreises. Gemäß ${\displaystyle (**)}$ beträgt der (Blind-)Widerstand der Reihenschaltung (vgl. oben)

${\displaystyle X=\mathrm {Im} \,{\underline {Z}}=\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\ .}$

Bei der Resonanz(kreis)frequenz ${\displaystyle \omega _{r}=1/{\sqrt {LC}}}$ heben sich der induktive und der kapazitive Blindwiderstand (${\displaystyle X_{L}=\omega L}$ und ${\displaystyle X_{C}=-1/\omega C}$) gegenseitig auf, was den Kurzschluss ${\displaystyle X=0}$ bewirkt. (Zur Vorzeichenkonvention für ${\displaystyle X_{C}}$ gilt dasselbe wie oben beim Parallelschwingkreis.)

Liegt die Frequenz oberhalb der Resonanzfrequenz, ist der induktive Blindwiderstand (Spule) betragsmäßig größer als der kapazitive, so dass der Blindanteil am komplexen Gesamtwiderstand positiv ist. Der Kondensator liefert mit steigender Frequenz einen immer kleiner werdenden Anteil am gesamten Blindwiderstand, die Spule einen immer größer werdenden Anteil. Liegt die Frequenz unterhalb der Resonanzfrequenz, ist der kapazitive Blindwiderstand des Kondensators betragsmäßig größer als der induktive Blindwiderstand der Spule, und der Blindanteil des Gesamtwiderstandes hat ein negatives Vorzeichen. Hierbei wird der Spulenwiderstand mit sinkender Frequenz zunehmend kleiner und der größer werdende Betrag des Blindwiderstands des Kondensators wird immer weniger kompensiert.

Bei einem Reihenschwingkreis tritt eine Spannungsüberhöhung auf, denn über L und C einzeln treten höhere Spannungen auf als an den Anschlussklemmen (siehe Resonanztransformator).

Ortskurve der Impedanz eines realen Reihenschwingkreises
C = 0,1 μF; L = 50 μH; R = 5 Ω

Realer Reihenschwingkreis

Im allgemeinen Fall verschwindet der in Reihe zu Kondensator und Spule geschaltete ohmsche Widerstand nicht, d. h. ${\displaystyle R\neq 0}$. Dieser kann ein weiteres Bauteil sein oder allein schon der Draht der Spule.

Die gezeigte Ortskurve veranschaulicht Eigenschaften eines Reihenschwingkreises an einem konkreten Beispiel:

1. Bei Resonanz ist der Schwingkreis rein ohmsch, seine Impedanz stimmt dann mit R überein.
2. Der Resonanzwiderstand ist zugleich der über alle Frequenzen minimal mögliche Scheinwiderstand.
3. Die Resonanzfrequenz ist dieselbe wie für den idealen Schwingkreis.

Diese Eigenschaften gelten allgemein: 1. und 2. können unmittelbar aus Gl. ${\displaystyle (1)}$ abgelesen werden und 3. ergibt sich aus Gl. ${\displaystyle (3)}$, da die Resonanzfrequenz per definitionem die Frequenz ist, bei der die Amplitude einer erzwungenen Schwingung maximal wird.

Energiebilanz des Reihenschwingkreises

Die gesamte Energie des Systems ${\displaystyle E}$ ergibt sich als Summe von elektrischer Feldenergie des Kondensators ${\displaystyle E_{C}={\frac {1}{2}}Cu_{C}^{2}}$ und magnetischer Feldenergie der Spule ${\displaystyle E_{L}={\frac {1}{2}}Li^{2}}$. Im stationären (= eingeschwungenen) Zustand muss diese konstant sein, d.h. ${\displaystyle E=E_{C}+E_{L}={\text{const.}}}$ Daraus folgt

${\displaystyle 0={\frac {dE}{dt}}={\frac {dE_{C}}{dt}}+{\frac {dE_{L}}{dt}}=L\,i\,{\frac {di}{dt}}+C\,u_{C}\,{\frac {du_{C}}{dt}}=(u_{L}+u_{C})i=(u_{e}-Ri)i\;\Longleftrightarrow \;u_{e}i=Ri^{2}}$

wobei im vorletzten Schritt die Maschengleichung ${\displaystyle (*)}$ ausgenutzt wurde.

Letzte Gleichung besagt, dass die gesamte von außen zugeführte Leistung ${\displaystyle P_{e}=u_{e}i}$ im stationären Zustand andauernd als ohmsche Verlustleistung ${\displaystyle P_{R}=Ri^{2}}$ verheizt wird. Anders ausgedrückt: Während die Gesamtenergie ${\displaystyle E={\frac {1}{2}}Li_{0}^{2}}$ zwischen Kondensator und Spule hin- und herpendelt, verliert sie dabei beständig Stromwärme an die Umgebung; diese wird von der äußeren Energiequelle nachgeliefert, sodass die Gesamtenergie des Reihenschwingkreises im stationären Zustand konstant bleibt.

Kreisgüte

→ Hauptartikel: Gütefaktor

In realen Schwingkreisen treten in den Spulen und Kondensatoren auch Verluste auf (ohmsche Verluste, dielektrische Verluste, Abstrahlung). Diese führen dazu, dass die Schwingung eines Schwingkreises gedämpft wird. Ganz ohne Dämpfung würde andererseits bei Resonanz die Amplitude über alle Grenzen wachsen. Ein Maß für die Verluste ist der Gütefaktor.

Die Resonanzkurve (siehe Graph des Amplitudengangs oben) stellt in einem Diagramm dar, wie weit es in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz bei einem gegebenen Gütefaktor zu einer Amplitudenüberhöhung kommt.

Oszillator

Einmal angestoßen und dann sich selbst überlassen, schwingt ein Schwingkreis in der Nähe seiner Resonanzfrequenz f₀. Infolge der Dämpfung durch Verluste nimmt die Amplitude der Schwingung im Laufe der Zeit ab („gedämpfte Schwingung“), wenn nicht durch eine aktive Verstärkerschaltung (beispielsweise mit einem Transistor) oder einem negativen differentiellen Widerstand regelmäßig wieder Energie zugeführt wird. Man spricht dann auch von einer Mitkopplung oder von einer Entdämpfung des Schwingkreises. Eine solche Schaltung bildet eine Oszillatorschaltung (Schwingungserzeuger), ein Beispiel ist die Meißner-Schaltung.

Abstimmung

Die Resonanzfrequenz hängt von L und von C ab und kann daher durch Ändern von L oder C beeinflusst werden. Der Schwingkreis wird hierdurch auf eine bestimmte Frequenz abgestimmt.

Die Induktivität L kann vergrößert werden, indem ein ferromagnetischer Kern (Eisen oder Ferrit) mehr oder weniger weit in die Spule eingeschoben wird. Auch das Verdrängen des Feldes durch Einschieben eines gut leitenden Kernes wird angewendet – dann verringert sich die Induktivität.

Die Kapazität C kann verändert werden, indem die Plattengröße oder der Plattenabstand des Kondensators verändert wird. Beim Drehkondensator und bei vielen Trimmern geschieht das, indem die Platten seitlich gegeneinander verdreht werden, so dass der Anteil der sich gegenüberliegenden Flächen verändert wird. Andere Schaltungen verwenden stattdessen zum Beispiel eine Kapazitätsdiode.

Anwendung

Filter

Der Scheinwiderstand ist frequenzabhängig, in der Umgebung der Resonanzfrequenz wird er beim Reihenschwingkreis minimal und beim Parallelschwingkreis maximal. Diese Frequenzabhängigkeit ermöglicht, aus einem Signalgemisch unterschiedlicher Frequenzen eine bestimmte Frequenz herauszufiltern – entweder um sie allein durchzulassen, oder um sie gezielt zu unterdrücken. Der Parallelschwingkreis hat zudem den Vorteil, Gleichstrom wie beispielsweise den Betriebsstrom des Transistors unbehindert passieren zu lassen. Deshalb wird beim Einsatz in einem selektiven Verstärker immer ein Parallelschwingkreis verwendet.

• Bei älteren Telefonanlagen wurden über die Zweidrahtleitung sowohl Sprache als auch – auf höherer Frequenz – die Gebührenimpulse gesendet. Im Telefonapparat war ein Sperrkreis (Parallelschwingkreis als Zweipol) eingebaut, um die Frequenz des Impulses für den Hörer zu unterdrücken. Nur diese wurde über einen Reihenschwingkreis zum Gebührenzähler geschickt, vor dem wiederum die Sprachfrequenzen gesperrt wurden.
• Mit Parallelschwingkreisen werden Rundfunkempfänger auf den gewünschten Sender abgestimmt. Ein Schwingkreis wird zwischen die Eingangspole geschaltet – im einfachsten Fall des Detektorempfängers direkt zwischen Antenne und Erde. Das Ausgangssignal wird an diesen Anschlüssen abgenommen und der weiteren Verarbeitung (Mischung bei einem Überlagerungsempfänger, Demodulation) zugeführt.
• Die Endstufen von Sendeanlagen erzeugen häufig unerwünschte Oberschwingungen, die nicht über die Antenne abgestrahlt werden dürfen und durch einige Schwingkreise nach der Endstufe unterdrückt werden müssen. Wird der Schwingkreis durch einen Resonanztransformator ersetzt, kann so auch eine Leitungsanpassung an die Impedanz des Antennenkabels erfolgen.
• Mit Saugkreisen können störende Frequenzen einem Signalgemisch ausgefiltert (kurzgeschlossen) werden. Dazu wird er vor den eigentlichen Empfänger zwischen Antenne und Erde angeschlossen. Bei einfachen Rundfunkempfängern kann so ein sehr starker Ortssender ausgefiltert werden, um die eigentlichen Frequenzselektionsstufen dann auf die gewünschte Frequenz eines weiter entfernteren und dadurch schwächer einfallenden Senders abzustimmen, die sonst vom Ortssender überlagert würden. Gut geeignet und öfter eingesetzt ist auch ein Sperrkreis in der Antennenzuleitung.

Parallel- und Reihenschwingkreise können je nach Beschaltung auch die jeweils andere Aufgabe übernehmen. So kann ein lose gekoppelter Parallelschwingkreis Energie ausschließlich bei seiner Eigenfrequenz aufnehmen (Saugkreis); ein Reihenschwingkreis in Reihe in einer Signalleitung lässt nur Frequenzen seiner Eigenresonanz passieren. Dagegen lässt ein in eine Signalleitung in Reihe geschalteter Parallelschwingkreis genau seine Eigenfrequenz nicht passieren – vorausgesetzt, er wird durch diese nicht maßgeblich bedämpft.

Kompensation von Blindstrom

Verbraucher im elektrischen Energieversorgungsnetz beziehen elektrische Energie und geben sie z. B. als thermische, mechanische, chemische Energie weiter. Vielfach speichern sie auch Energie, z. B. in Motoren als magnetische Feldenergie. Das Feld wird im Rhythmus der Netzwechselspannung auf- und wieder abgebaut, und die Energie wird bezogen und zurückgeliefert. Diese Energiependelung erzeugt Blindstrom, der Quelle und Netz belastet und vermieden werden soll. Dazu wird ein Schwingkreis aufgebaut: Einer Induktivität wird eine Kapazität parallelgeschaltet – oder umgekehrt. Das Zusatzbauteil wird so dimensioniert, dass die Resonanzfrequenz gleich der Netzfrequenz wird und dadurch ein möglichst hoher Scheinwiderstand entsteht. Diese Schaltungsmaßnahme wird Blindstromkompensation genannt.

Schwingkreise als Ersatzschaltbilder

Neben Schwingkreisen gibt es viele weitere elektronische Konstruktionen, die in Anwendungen an Stelle von Schwingkreisen eingesetzt werden (besonders bei sehr hohen Frequenzen). Siehe hierzu Lecherleitung, Topfkreis, Hohlraumresonator, aber auch Antennendipol. Die physikalische Funktion dieser Konstruktionen basiert meist auf der Nutzung von stehenden Wellen und unterscheidet sich damit grundsätzlich von der physikalischen Funktion eines Schwingkreises. Für derartige Konstruktionen werden häufig Ersatzschaltbilder in Form elektrischer Schwingkreise angegeben, die eine vereinfachte, angenäherte Berechnung ihres Verhaltens erlauben.

Ersatzschaltbilder mit ihren idealen elektronischen Bauelementen bilden das Verhalten der „ersetzten“ Konstruktion nach, nicht jedoch ihren technischen Aufbau oder ihre Wirkungsweise.

Messgerät

Die Resonanzfrequenz von Schwingkreisen im MHz-Bereich kann mit einem Dipmeter gemessen werden.

Literatur

• Wilfried Weißgerber: Elektrotechnik für Ingenieure 2. Vieweg/Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0474-7.
• Martin Gerhard Wegener: Moderne Rundfunk-Empfangstechnik. Franzis-Verlag, München 1985, ISBN 3-7723-7911-7.
• Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2. Springer-Verlag, Berlin 2006, ISBN 3-540-33794-6.
• Klaus Lunze: Theorie der Wechselstromschaltungen. Verlag Technik, Berlin 1991, ISBN 3-341-00984-1.
• Ralf Kories und Heinz Schmidt-Walter: Taschenbuch der Elektrotechnik. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a. M. und Thun.

Weblinks

Commons: Schwingkreis – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Schwingkreis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• HTML5-App zur Demonstration eines Schwingkreises