Gütefaktor

Dieser Artikel behandelt ein Maß für die Dämpfung bzw. den Energieverlust eines schwingungsfähigen Systems; zur Güte eines Filters in der Fluidtechnik siehe Staubabscheideleistung.

Der Gütefaktor, auch Q-Faktor oder Güte, in Bezug auf schwingungsfähige Systeme auch Kreisgüte, Filtergüte, Schwingkreisgüte, Oszillatorgüte oder Resonanzschärfe genannt, ist in der Physik und Technik ein Parameter, der in einem frei schwingenden harmonischen Oszillator (Resonator) das Verhältnis der gespeicherten Energie zu dem thermischen Energieverlust während der folgenden Schwingungsperiode ausdrückt. Der Gütefaktor ist auch ein Kennzeichen für den Energieverlust in Energiespeichern, wie beispielsweise elektrischen Bauelementen wie Spulen und Kondensatoren.^[1] Bei einer erzwungenen Schwingung beschreibt der Gütefaktor das Verhältnis der Resonanzfrequenz zu seiner Bandbreite.^[2] Eine hohe Güte eines Systems besagt, dass das System die gespeicherte Energie in nur geringem Umfang in thermische Energie umsetzt und die Schwingung nur in geringem Umfang abnimmt.^[3] Der Kehrwert des Gütefaktors wird als Verlustfaktor bezeichnet.^[4]

Der Gütefaktor ist je nach Systemauslegung sehr unterschiedlich. Systeme, bei denen die Dämpfung wichtig ist (beispielsweise Stoßdämpfer), haben einen Gütefaktor um ${\displaystyle 0{,}5}$, was dem aperiodischen Grenzfall entspricht. Systeme, die eine hohe Frequenzstabilität benötigen, haben hohe Gütefaktoren, beispielsweise eine Stimmgabel um ${\displaystyle Q=1000}$ und der Quarzoszillator in einer Quarzuhr um ${\displaystyle Q=10000}$ .^[5]

Die Etablierung des Begriffs Q-Faktor und insbesondere im Englischen des Begriffs englisch Quality Factor geht auf Kenneth S. Johnson zurück, der den Gütefaktor zur Bewertung von elektrischen Netzwerken im Jahr 1923 erstmals verwendete.^[6][7] Die Definition des Gütefaktors wurde neben der ursprünglichen Anwendung im Rahmen der elektrischen Netzwerktheorie verallgemeinert und findet Anwendung unter anderem bei Hohlraumresonatoren, bei mechanischen und akustischen Systemen wie beispielsweise Lautsprechern, bis hin zur Bewertung von Spektrallinien und Teilchenresonanzen im Rahmen der Quantenmechanik.

Definitionen

Der dimensionslose Gütefaktor ${\displaystyle Q}$ wird in zwei gebräuchlichen und nicht deckungsgleichen Definitionen verwendet, die bei größerem Q-Faktor in Näherung gleiche Ergebnisse liefern.

Definition über die Energie

Bei dieser Definition ist der Gütefaktor gegeben als Verhältnis von im System gespeicherter Energie ${\displaystyle E(t)}$ zur in der Folgeperiode dissipierten Energie ${\displaystyle W_{V}(t)=E(t)-E(t+T)}$. Die Dissipation entsteht bei mechanischen Schwingungen bspw. durch Reibung, bei elektrischen Schwingkreisen durch Stromwärmeverluste. Aus praktischen Gründen wird der Vorfaktor ${\displaystyle 2\pi }$ mit in den Gütefaktor hineindefiniert^[8]:

${\displaystyle Q\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} 2\pi \,{\frac {E}{W_{V}}}=\omega \,{\frac {E}{|{\dot {E}}|}}}$

mit Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega =2\pi f=2\pi /T}$ und ${\displaystyle W_{V}(t)\approx -{\dot {E}}(t)\,T}$. Bei freien Schwingungen setzt man die gedämpfte Eigenfrequenz ${\displaystyle \omega _{d}}$ ein, bei erzwungenen Schwingungen die Resonanzfrequenz ${\displaystyle \omega _{r}}$ im eingeschwungenen Zustand.

Für schwach gedämpfte, freie Schwingungen mit einer im Vergleich zur Energierelaxationszeit ${\displaystyle \tau }$ kleinen Schwingungsperiode ${\displaystyle T}$, d. h. ${\displaystyle T\ll \tau }$, gilt ferner ${\displaystyle W_{V}(t)\approx {\frac {E(t)}{\tau }}\,T}$ und somit ${\displaystyle Q=\omega \,\tau =2\pi f\,\tau }$. In dem Fall gibt die Oszillatorgüte (bis auf den Faktor ${\displaystyle 2\pi }$) die Anzahl der Schwingungen in der Relaxationszeit der Energie an, d.h. die Anzahl der Schwingungen bis die Energie auf den Bruchteil ${\displaystyle 1/e}$ gefallen ist.

Definition über die Bandbreite

Bei dieser Definition wird von der Resonanzfrequenz ${\displaystyle f_{r}}$ in Relation zur Resonanzbreite ${\displaystyle \Delta f}$ ausgegangen. Die Resonanzbreite stellt eine Bandbreite dar, bei der das Leistungsdichtespektrum auf die Hälfte abgenommen hat, dies entspricht der Halbwertsbreite und wird im technischen Bezug auch als 3-dB-Bandbreite bezeichnet:

${\displaystyle Q\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\frac {f_{r}}{\Delta f}}={\frac {\omega _{r}}{\Delta \omega }}}$

Nach dieser Definition entspricht die relative Bandbreite ${\displaystyle d}$ dem Kehrwert des Gütefaktors:

${\displaystyle d={\frac {\Delta \omega }{\omega _{r}}}={\frac {1}{Q}}}$

Elektrische Schaltungstechnik

Im folgenden Abschnitt sind einige Beispiele zum Gütefaktor mit Bezug zu elektrischen Netzwerken beschrieben.

Schwingkreise

Reihenschwingkreis

Reihenschwingkreis

Ein Reihenschwingkreis umfasst in Reihenschaltung einen elektrischen Widerstand ${\displaystyle R}$, eine Spule mit der Impedanz ${\displaystyle X_{L}}$ und einen Kondensator mit der Impedanz ${\displaystyle X_{C}}$, welche von dem Wechselstrom ${\displaystyle I}$ durchflossen werden. Der Gütefaktor wird im Resonanzfall bestimmt, wobei in diesem speziellen Fall die beiden Impedanzen gleich sind und zu einem Impedanzwert ${\displaystyle X=X_{L}=X_{C}}$ gleichgesetzt werden können. Mit dieser Vereinfachung und der Energiedefinition des Gütefaktors kann ausgehend von der Blindleistung ${\displaystyle P_{Q}}$ der Impedanz und der durch den ohmschen Widerstand verursachten Wirkleistung ${\displaystyle P_{W}}$, welche den thermischen Verlust des Schwingkreises darstellt, der Gütefaktor eines Reihenschwingkreises ausgedrückt werden als:

${\displaystyle Q={\frac {P_{Q}}{P_{W}}}={\frac {I^{2}X}{I^{2}R}}={\frac {X}{R}}}$

Ausgehend von dieser Beziehung kann im Resonanzfall bei der Resonanzfrequenz

${\displaystyle f_{r}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}}$

mit den Gleichungen für die Impedanz der Induktivität

${\displaystyle X_{L}=2\pi f_{r}L}$

bzw. der Impedanz der Kapazität

${\displaystyle X_{C}={\frac {1}{2\pi f_{r}C}}}$

der Gütefaktor mit den Werten der Bauelemente ausgedrückt werden:

${\displaystyle Q={\frac {X}{R}}={\frac {2\pi f_{r}L}{R}}={\frac {1}{2\pi f_{r}C\cdot R}}={\frac {1}{R}}\;{\sqrt {\,{\frac {L}{C}}\,}}}$

Für die nicht offensichtliche Gleichwertigkeit dieser Definition ${\displaystyle Q=P_{Q}/P_{W}=X/R}$ mit der Energiedefinition ${\displaystyle Q=\omega _{r}{\frac {E}{|{\dot {E}}|}}}$ siehe Schwingkreis.

Parallelschwingkreis

Parallelschwingkreis

Ein Parallelschwingkreis umfasst in Parallelschaltung einen elektrischen Widerstand ${\displaystyle R}$, eine Spule mit der Impedanz ${\displaystyle X_{L}}$ und einen Kondensator mit der Impedanz ${\displaystyle X_{C}}$, an welchen die Wechselspannung ${\displaystyle U}$ anliegt. Der Gütefaktor wird auch in diesem Fall im Resonanzfall bestimmt, wobei in diesem speziellen Fall die beiden Impedanzen gleich sind und zu einem Impedanzwert ${\displaystyle X=X_{L}=X_{C}}$ gleichgesetzt werden können. Mit dieser Vereinfachung und der Energiedefinition des Gütefaktors kann wieder ausgehend von der Blindleistung ${\displaystyle P_{Q}}$ der Impedanz und der durch den ohmschen Widerstand verursachten Wirkleistung ${\displaystyle P_{W}}$ der Gütefaktor eines Parallelschwingkreises ausgedrückt werden als:

${\displaystyle Q={\frac {P_{Q}}{P_{W}}}={\frac {\frac {U^{2}}{X}}{\frac {U^{2}}{R}}}={\frac {R}{X}}}$

Ausgehend von dieser Beziehung kann im Resonanzfall bei der Resonanzfrequenz

${\displaystyle f_{r}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}}$

mit den Gleichungen für die Impedanzen der Gütefaktor mit den Werten der Bauelemente ausgedrückt werden zu:

${\displaystyle Q={\frac {R}{X}}={\frac {R}{2\pi f_{r}L}}=2\pi f_{r}C\cdot R=R\;{\sqrt {\,{\frac {C}{L}}\,}}}$

Impedanzen

Bei einzelnen verlustbehafteten reaktiven Bauelementen wie einem Kondensator oder einer Spule stellt der Gütefaktor einen Ausdruck dar, wie gut das reaktive Bauelement dem Ideal nahe kommt, also möglichst keine internen Verluste aufweist. Im Gegensatz zu der Begriffsverwendung des Gütefaktors bei Schwingkreisen kommt dabei keine Resonanzfrequenz als ausgezeichneter Betriebsfall vor, die Frequenz wird von außen vorgegeben, womit der Gütefaktor in diesem Fall frequenzabhängig ist.

Bei einem realen Kondensator kommt dabei im einfachsten Fall der Modellbildung eine Ersatzschaltung zur Anwendung, welche aus einem idealen Kondensator und einem Reihenwiderstand, bezeichnet auch als ESR oder englisch Equivalent Series Resistance, gebildet wird. Eine reale Spule wird durch eine ideale Spule mit einem Reihenwiderstand beschrieben, welcher primär die ohmschen Verluste in der Wicklung der Spule ausdrückt. Der Gütefaktor der Spule wird auch als Spulengüte bezeichnet.^[9]

Für verlustbehaftete Impedanzen lässt sich damit der frequenzabhängige Gütefaktor ${\displaystyle Q}$ über die Energiedefinition bestimmen zu:

${\displaystyle Q={\frac {P_{Q}}{P_{W}}}={\frac {I^{2}X}{I^{2}R}}={\frac {X}{R}}}$

Eine hohe Spulengüte ist vor allem dann erforderlich, wenn in einem Schwingkreis eine geringe Bandbreite angestrebt wird. Der Gütefaktor ist bei Netzwerkelementen zugleich der Kotangens des Verlustwinkels.^[10]

Bandbreite

Resonanzkurve bei einer logarithmischen Auftragung der Amplitude über der Erregerfrequenz, wobei die Resonanzfrequenz mit ${\displaystyle f_{c}}$ bezeichnet ist

Der Gütefaktor eines Resonanzkreises ist ein Maß für die Schärfe der Resonanz. Diese wird durch die 3-dB-Bandbreite ${\displaystyle B}$ ausgedrückt:^[11]

${\displaystyle B=f_{2}-f_{1}={\frac {f_{0}}{Q}}}$

mit dem daraus gebildeten Gütefaktor:

${\displaystyle Q={\frac {f_{0}}{B}}}$

Die obere Grenzfrequenz ${\displaystyle f_{2}}$ und die untere Grenzfrequenz ${\displaystyle f_{1}}$ sind diejenigen Frequenzen, bei denen die Spannung ${\displaystyle {\hat {u}}}$ bzw. der Strom ${\displaystyle {\hat {\imath }}}$ auf den ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\approx 0{,}707}$-fachen Wert des Maximalwertes zurückgehen. An dieser Stelle ist die Leistung im Schwingkreis nur noch halb so groß wie bei der Resonanzfrequenz des verlustlosen Schwingkreises. Bei Darstellung des Pegels in Abhängigkeit von der Frequenz ist die Bandbreite gleich dem Frequenzbereich, an dessen Grenzen die Leistungswurzelgröße um 3 dB abnimmt. Die Grenzfrequenzen können berechnet werden aus:

${\displaystyle f_{1}={\frac {{\sqrt {R^{2}+4{\frac {L}{C}}}}-R}{4\pi L}}}$   und   ${\displaystyle f_{2}={\frac {{\sqrt {R^{2}+4{\frac {L}{C}}}}+R}{4\pi L}}}$

Sie sind mit der Resonanzfrequenz des idealen Schwingkreises verbunden durch:

${\displaystyle f_{0}={\sqrt {f_{1}\,f_{2}}}}$.

Mechanischer Schwingkreis

In der Mechanik geht man bei einem Federpendel (Masse-Feder-System) von folgenden Differentialgleichungen aus:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+d{\dot {x}}+kx=0\qquad {\text{oder}}\qquad {\ddot {x}}+2\delta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0}$

Dabei bedeutet ${\displaystyle x}$ die Auslenkung aus der Ruhelage und ${\displaystyle m}$ die Masse. Weitere Terme sind die vorzugsweise durch Reibung bestimmte Dämpfungskonstante ${\displaystyle d}$, die Federkonstante ${\displaystyle k}$, der Dämpfungskoeffizient ${\displaystyle \delta }$ und die Eigenkreisfrequenz ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}$ des ungedämpften Systems.

Ist die gespeicherte Energie gegeben durch ${\displaystyle E_{0}={\frac {1}{2}}kx_{0}^{2}={\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}}$, so klingt diese im Schwingfall gemäß ${\displaystyle E(t)=E_{0}\,e^{-{\frac {t}{\tau }}}}$ab. Die Verlustleistung ist daher ${\displaystyle {\dot {E}}=-E/\tau }$; die Energiedefinition ergibt daher für ${\displaystyle \delta \,T\ll 1}$ ^[12][13]

${\displaystyle Q=\omega _{d}\;{\frac {E}{|{\dot {E}}|}}=\omega _{d}\,\tau }$

mit der gedämpften Eigenkreisfrequenz ${\displaystyle \omega _{d}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\delta ^{2}}}}$ des schwach gedämpften Systems und der Energierelaxationszeit ${\displaystyle \tau =1/2\delta }$.

Beispiele

In der folgenden Tabelle sind einige Größenordnungen von Gütefaktoren bei verschiedenen schwingenden Systemen angegeben.

System	Gütefaktor Q
Aperiodischer Grenzfall	${\displaystyle 0{,}5}$
Elektrodynamischer Lautsprecher	typ. ${\displaystyle 0{,}2\,\ldots \,1{,}2}$
Elektrischer Schwingkreis	${\displaystyle 10^{2}}$
Pendeluhr	${\displaystyle 10^{4}}$
Schwingungstilger	${\displaystyle 10^{5}}$
Schwingquarz 10 MHz	${\displaystyle (3\,\ldots \,10)\cdot 10^{5}}$
Frequenzstabilisierter Laser	${\displaystyle 10^{9}}$
Supraleitender Hohlraumresonator	${\displaystyle 10^{9}\,\ldots \,10^{11}}$
Cäsium-Atomuhr	${\displaystyle 10^{13}}$
Mößbauer-Effekt bei Gammastrahlung	${\displaystyle 10^{15}}$

Literatur

• Bernd Girod, Rudolf Rabenstein, Alexander Stenger: Einführung in die Systemtheorie. 4. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8351-0176-0.

Weblinks

• Umrechnung: 'Bandbreite in Oktaven' N in Gütefaktor Q und Gütefaktor Q in 'Bandbreite in Oktaven' N
• Q-Faktor und Mittenfrequenz - Finde die Grenzfrequenzen (Bandbreite)
• Gütefaktor Q in „Bandbreite in Oktaven“ N - und zurück – Excel

Einzelnachweise

1. Otto Zinke, Heinrich Brunswig: Physik - Ein Lehrbuch. 16. Auflage. 1989, ISBN 3-540-51196-2, Kapitel 4.1.2, S. 140 - 141.
2. Mike Tooley: Electronic Circuits - Fundamentals And Applications. 5. Auflage. Routledge, 2020, ISBN 978-0-367-82265-1, Chapter 2: Passive circuits, S. 79 - 81.
3. Christian Gerthsen, Hans O. Kneser, Helmut Vogel: Physik - Ein Lehrbuch. 16. Auflage. 1989, ISBN 3-540-51196-2, Kapitel 4.1.2, S. 140 - 141.
4. Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch – IEV 151-15-47
5. Time and Frequency from A to Z: Quality Factor, Q. NIST, archiviert vom Original (nicht mehr online verfügbar) am 4. Mai 2008; abgerufen am 3. Dezember 2022.
6. Patent US1628983: Electrical network. Veröffentlicht am 1923, Anmelder: Western Electric, Erfinder: Kenneth S. Johnson.
7. Estill Green: The Story of Q. Bell Telephone Laboratories, 1955, abgerufen am 3. Dezember 2022.
8. Wolfgang Pfeiler, Anton Zeilinger: Experimentalphysik Band 1. 2. Auflage. 2020, ISBN 978-3-11-067562-7, Kapitel 5.2.4, S. 298 - 299.
9. Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch – IEV 151-15-45
10. Internationales Elektrotechnisches Wörterbuch – IEV 151-15-48
11. Erwin Böhmer, Dietmar Ehrhardt, Wolfgang Oberschelp: Elemente der angewandten Elektronik: Kompendium für Ausbildung und Beruf. 16. Auflage. Vieweg+Teubner, 2010, S. 69
12. Dieter Meschede (Hrsg.), Christian Gerthsen: Gerthsen Physik. 25. Auflage. Springer, 2015, S. 150f
13. Alan M. Portis, Hugh D. Young: Physik im Experiment. Vieweg, 1978, S. 34