Der Airy-Prozess ist eine Familie von stationären stochastischen Prozessen, die als Grenzwerte in der Theorie der Zufallsmatrizen und der statistischen Physik auftauchen. Es wird vermutet, dass die Airy-Prozess die langzeit, groß-skalierte räumliche Fluktuation der Modelle in der (1+1) KPZ-Universalitätsklasse (das heißt eine 1 Zeit- und 1 Raum-Dimension) für viele Anfangsbedingungen beschreiben.[1] Der Name der Prozesse leitet sich von der Airy-Funktion ab.
Der Airy2-Prozess wurde 2002 von den Mathematikern Michael Prähofer und Herbert Spohn eingeführt. Sie bewiesen, dass die Höhenfunktion eines zufälligen Wachstumsmodelles – dem PNG-Droplet – unter einer bestimmten Skalierung und Anfangsbedingung gegen den Airy2-Prozess konvergiert. Des Weiteren bewiesen sie, dass der Prozess stationär ist und fast sicher stetig Pfade hat.[2]
Der Airy2-Prozess wird über seine endlichdimensionale Verteilung definiert, welche eine Fredholm-Determinante des erweiterten Airy-Kerns ist. Betrachtet man nur einen Zeitpunkt (die Einpunkt-Verteilung) so folgt der Airy2-Prozess der Tracy-Widom-Verteilung des GUE.[3][4]
Der Airy-Prozess wurde von Tomohiro Sasomoto[5] eingeführt und seine Einpunkt-Verteilung ist die Tracy-Widom-Verteilung des GOE. Es existiert auch ein Airystat-Prozess.[6]
Seien in .
Der Airy2-Prozess ist der stochastische Prozess, so dass
wobei
und der erweiterte Airy-Kern als Matrixkern durch
definiert ist.
Erläuterungen
- Im Fall wird der erweiterte Airy-Kern zum Airy-Kern und es gilt
- wobei die Tracy-Widom-Verteilung des gaußschen unitären Ensembles ist. Unter einer bestimmten Skalierung konvergiert somit der größte Eigenwert des GUEs zu dem Airy-Prozess in Verteilung.
- ist ein Spurklasseoperator auf mit Zählmaß auf und Lebesgue-Maß auf . Der Integralkern ist .[7]
Basu, R., Busani, O. & Ferrari, P.L.: On the Exponent Governing the Correlation Decay of the Airy1 Process. In: Commun. Math. Phys. 2022, doi:10.1007/s00220-022-04544-1.
Michael Prähofer und Herbert Spohn: Scale Invariance of the PNG Droplet and the Airy Process. In: Journal of Statistical Physics. Band 108, 2002, arxiv:math/0105240.
Craig Tracy und Harold Widom: A System of Differential Equations for the Airy Process. In: Electronic Communications in Probability. Band 8, 2003, S. 93 - 98, doi:10.1214/ECP.v8-1074.
Tomohiro Sasamoto: Spatial correlations of the 1D KPZ surface on a flat substrate. In: IOP Publishing (Hrsg.): Journal of Physics A: Mathematical and General. Band 38, Nr. 33, 2005, S. L549-L556, doi:10.1088/0305-4470/38/33/l01.
Jinho Baik, Patrik L. Ferrari und Sandrine: Limit process of stationary TASEP near the characteristic line. In: Wiley (Hrsg.): Communications on Pure and Applied Mathematics. Band 63, Nr. 8, 2010, S. 1017–1070, doi:10.1002/cpa.20316.