Airy-Prozess

Der Airy-Prozess ist eine Familie von stationären stochastischen Prozessen, die als Grenzwerte in der Theorie der Zufallsmatrizen und der statistischen Physik auftauchen. Es wird vermutet, dass die Airy-Prozess die langzeit, groß-skalierte räumliche Fluktuation der Modelle in der (1+1) KPZ-Universalitätsklasse (das heißt eine 1 Zeit- und 1 Raum-Dimension) für viele Anfangsbedingungen beschreiben.^[1] Der Name der Prozesse leitet sich von der Airy-Funktion ab.

Der Airy₂-Prozess wurde 2002 von den Mathematikern Michael Prähofer und Herbert Spohn eingeführt. Sie bewiesen, dass die Höhenfunktion eines zufälligen Wachstumsmodelles – dem PNG-Droplet – unter einer bestimmten Skalierung und Anfangsbedingung gegen den Airy₂-Prozess konvergiert. Des Weiteren bewiesen sie, dass der Prozess stationär ist und fast sicher stetig Pfade hat.^[2]

Der Airy₂-Prozess wird über seine endlichdimensionale Verteilung definiert, welche eine Fredholm-Determinante des erweiterten Airy-Kerns ist. Betrachtet man nur einen Zeitpunkt (die Einpunkt-Verteilung) so folgt der Airy₂-Prozess der Tracy-Widom-Verteilung des GUE.^[3][4]

Der Airy${\displaystyle _{1}}$-Prozess wurde von Tomohiro Sasomoto^[5] eingeführt und seine Einpunkt-Verteilung ist die Tracy-Widom-Verteilung des GOE. Es existiert auch ein Airy_stat-Prozess.^[6]

Airy2-Prozess

Seien ${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\dots <t_{n}}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Der Airy₂-Prozess ${\displaystyle A_{2}(t)}$ ist der stochastische Prozess, so dass

${\displaystyle P(A_{2}(t_{1})<\xi _{1},\dots ,A_{2}(t_{n})<\xi _{n})=\det(1-f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }f^{1/2})_{L^{2}(\{t_{1},\dots ,t_{n}\}\times \mathbb {R} )}}$

wobei

${\displaystyle f:=f(t_{j},\xi ):=1_{\{(\xi _{j},\infty )\}}(\xi )}$

und der erweiterte Airy-Kern als Matrixkern durch

${\displaystyle K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }:=K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }(t_{i},x;t_{j},y)={\begin{cases}{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-z(t_{i}-t_{j})}\operatorname {Ai} (x+z)\operatorname {Ai} (y+z)\mathrm {d} z}&{\text{falls}}\;t_{i}\geq t_{j}\\{\displaystyle -\int _{-\infty }^{0}e^{-z(t_{i}-t_{j})}\operatorname {Ai} (x+z)\operatorname {Ai} (y+z)\mathrm {d} z}&{\text{falls}}\;t_{i}<t_{j}\end{cases}}}$

definiert ist.

Erläuterungen

• Im Fall ${\displaystyle t_{i}=t_{j}}$ wird der erweiterte Airy-Kern zum Airy-Kern und es gilt

${\displaystyle P(A_{2}(t)\leq \xi )=F_{2}(\xi ),}$

wobei ${\displaystyle F_{2}(\xi )}$ die Tracy-Widom-Verteilung des gaußschen unitären Ensembles ist. Unter einer bestimmten Skalierung konvergiert somit der größte Eigenwert des GUEs zu dem Airy-Prozess in Verteilung.

• ${\displaystyle f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }f^{1/2}}$ ist ein Spurklasseoperator auf ${\displaystyle L^{2}(\{t_{1},\dots ,t_{n}\}\times \mathbb {R} )}$ mit Zählmaß auf ${\displaystyle \{t_{1},\dots ,t_{n}\}}$ und Lebesgue-Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Der Integralkern ist ${\displaystyle f^{1/2}K_{\operatorname {Ai} }^{\operatorname {ext} }(t_{i},x;t_{j},y)f^{1/2}}$.^[7]

Einzelnachweise

1. Basu, R., Busani, O. & Ferrari, P.L.: On the Exponent Governing the Correlation Decay of the Airy1 Process. In: Commun. Math. Phys. 2022, doi:10.1007/s00220-022-04544-1.
2. Michael Prähofer und Herbert Spohn: Scale Invariance of the PNG Droplet and the Airy Process. In: Journal of Statistical Physics. Band 108, 2002, arxiv:math/0105240.
3. Craig Tracy und Harold Widom: A System of Differential Equations for the Airy Process. In: Electronic Communications in Probability. Band 8, 2003, S. 93 - 98, doi:10.1214/ECP.v8-1074.
4. Kurt Johansson: Discrete Polynuclear Growth and Determinantal Processes. In: Commun. Math. Phys. Band 242, 2003, S. 277–329, doi:10.1007/s00220-003-0945-y, arxiv:math/0206208.
5. Tomohiro Sasamoto: Spatial correlations of the 1D KPZ surface on a flat substrate. In: IOP Publishing (Hrsg.): Journal of Physics A: Mathematical and General. Band 38, Nr. 33, 2005, S. L549-L556, doi:10.1088/0305-4470/38/33/l01.
6. Jinho Baik, Patrik L. Ferrari und Sandrine: Limit process of stationary TASEP near the characteristic line. In: Wiley (Hrsg.): Communications on Pure and Applied Mathematics. Band 63, Nr. 8, 2010, S. 1017–1070, doi:10.1002/cpa.20316.
7. Kurt Johansson: Discrete Polynuclear Growth and Determinantal Processes. In: Commun. Math. Phys. Band 242, 2003, S. 290, doi:10.1007/s00220-003-0945-y, arxiv:math/0206208.