Dieser Artikel beschreibt eine
spezielle Funktion. Für die Formel, die die Transmission von elektromagnetischer Strahlung beschreibt siehe
Airy-Formel.
Die Airy-Funktion
bezeichnet eine spezielle Funktion in der Mathematik. Die Funktion
und die verwandte Funktion
, die ebenfalls Airy-Funktion genannt wird, sind Lösungen der linearen Differentialgleichung
![{\displaystyle \ y''-xy=0\ ,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51c6399283d60fb0c2c223c1292242b4aebca746)
auch bekannt als Airy-Gleichung. Sie beschreibt unter anderem die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen linearen Potentialtopf.
Die Airy-Funktion ist nach dem britischen Astronomen George Biddell Airy benannt, der diese Funktion in seinen Arbeiten in der Optik verwendete (Airy 1838). Die Bezeichnung
wurde von Harold Jeffreys eingeführt.
Direkt aus der Definition der Airy-Funktion
(siehe oben) folgt deren Fourier-Transformierte.
![{\displaystyle {\mathcal {F}}(\operatorname {Ai} )(k):=\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Ai} (x)\ \mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} kx}\,dx=\mathrm {e} ^{{\frac {\mathrm {i} }{3}}(2\pi k)^{3}}\,.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48cf2379b227318d09b42c40b114778ff860becd)
Man beachte die hier verwendete symmetrische Variante der Fourier-Transformation.
![{\displaystyle \mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{3^{2/3}\cdot \Gamma ({\tfrac {2}{3}})}}\cdot \,{}_{0}F_{1}\left(0;{\tfrac {2}{3}};{\tfrac {1}{9}}z^{3}\right)-{\frac {z}{3^{1/3}\cdot \Gamma ({\tfrac {1}{3}})}}\cdot \,{}_{0}F_{1}\left(0;{\tfrac {4}{3}};{\tfrac {1}{9}}z^{3}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/886e1327e8571575587ecdcdabf07bcf6a012a79)
![{\displaystyle \mathrm {Bi} (z)={\frac {1}{3^{1/6}\cdot \Gamma ({\tfrac {2}{3}})}}\cdot \,{}_{0}F_{1}\left(0;{\tfrac {2}{3}};{\tfrac {1}{9}}z^{3}\right)+{\frac {3^{1/6}\cdot z}{\Gamma ({\tfrac {1}{3}})}}\cdot \,{}_{0}F_{1}\left(0;{\tfrac {4}{3}};{\tfrac {1}{9}}z^{3}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99eadc1448248f2b80a0b23fa35ff982cccd2941)
![{\displaystyle \mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left[I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1f0cd33e711461cb3ab410a2d4b0af8dcb99aca)
![{\displaystyle \mathrm {Bi} (x)={\sqrt {\frac {x}{3}}}\left[I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9175279c9f086c7d1242484b4430f327531ed036)
- Eine andere unendliche Integraldarstellung für
lautet
![{\displaystyle \mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\exp \left(\mathrm {i} \cdot \left(zt+{\frac {t^{3}}{3}}\right)\right)\mathrm {d} t}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a3246a2bf73eb7e863f62962c5fce245a18809)
- Es gibt die Reihendarstellungen[2]
![{\displaystyle \mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{3^{2/3}\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{3}}(n+1)\right)}{n!}}\left(3^{1/3}z\right)^{n}\sin \left({\frac {2(n+1)\pi }{3}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d334e9736dfd8debbb62f16dfa0574933f01a2d)
![{\displaystyle \mathrm {Bi} (z)={\frac {1}{3^{1/6}\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{3}}(n+1)\right)}{n!}}\left(3^{1/3}z\right)^{n}\left|\sin \left({\frac {2(n+1)\pi }{3}}\right)\right|}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc678b1cf324af28157e4e8b2b8aac269ef3810)
und
sind ganze Funktionen. Sie lassen sich also auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortsetzen.
Definiere
![{\displaystyle T_{n}(t,\alpha )=t^{n}{}_{2}F_{1}\left(-{\frac {n}{2}},{\frac {1-n}{2}};1-n;-{\frac {4\alpha }{t^{2}}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95aa0e9206926ada390135f92649ac863e1625e2)
wobei
die hypergeometrische Funktion ist.
Dann gibt es folgende Verallgemeinerungen des Airy-Integrals
![{\displaystyle \operatorname {Ci} _{n}(\alpha )=\int _{0}^{\infty }\cos(T_{n}(t,\alpha ))\mathrm {d} t}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c13ed009d8c15af27c170568dd784832b5740c3)
![{\displaystyle \operatorname {Si} _{n}(\alpha )=\int _{0}^{\infty }\sin(T_{n}(t,\alpha ))\mathrm {d} t}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15362a4a4f6996cebb5df7499dd402d2a61622aa)
![{\displaystyle \operatorname {Ei} _{n}(\alpha )=\int _{0}^{\infty }\exp(-T_{n}(t,\alpha ))\mathrm {d} t}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c804db2a6a3acc92a691231aaf0a1455cccdeb)
Airy-Zeta-Funktion
Zu der Airy-Funktion lässt sich analog zu den anderen Zeta-Funktionen die Airysche Zeta-Funktion definieren als[3]
![{\displaystyle Z(n)=\sum _{r}{\frac {1}{r^{n}}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b41a796e238d8a5b212e8ff634a46afebe5e406)
wobei die Summe über die reellen (negativen) Nullstellen von
geht.
C. Banderier, P. Flajolet, G. Schaeffer, M. Soria: Planar Maps and Airy Phenomena. In Automata, Languages and Programming. Proceedings of the 27th International Colloquium (ICALP 2000) held at the University of Geneva, Geneva, 9.–15. Juli 2000 (Ed. U. Montanari, J. D. P. Rolim, E. Welzl). Berlin: Springer, S. 388–402, 2000