Adiabatische Zustandsänderung

Dieser Artikel behandelt den thermodynamischen Begriff. Zur Verwendung in der Quantenmechanik siehe Adiabatisches Theorem der Quantenmechanik.

Eine adiabatische^[1] oder adiabate^[2][3] Zustandsänderung (griechisch α a, deutsch ‚nicht‘ und διαβαίνειν diabaínein ‚hindurchgehen‘) ist ein thermodynamischer Vorgang, bei dem ein System von einem Zustand in einen anderen überführt wird, ohne Wärme mit seiner Umgebung auszutauschen. In diesem Sinne werden adiabat und „wärmedicht“ synonym verwendet.^[4] Die Eigenschaft eines solchen Systems, keine Wärme mit der Umgebung auszutauschen, wird Adiabasie genannt. Im Gegensatz dazu wird bei diabatischen^[5][6][7] und diathermen^[8] Prozessen Wärme mit der Umgebung ausgetauscht (siehe etwa: Isotherme Zustandsänderung).

Adiabatische Zustandsänderungen, bei welchen vom Anfang bis zum Ende der Änderung zu jedem Zeitpunkt das System nahezu im thermodynamischen Gleichgewicht ist, werden quasistatisch genannt, ihr Verlauf lässt sich durch eine Kurve im Zustandsraum darstellen.^[9] Wird die quasistatische Zustandsänderung allein durch die Veränderung von äußeren Parametern des Systems verursacht, dann werden diese Kurven Adiabaten genannt. Äußere Parameter sind dabei Größen, die die äußeren Nebenbedingungen des thermodynamischen Systems beschreiben, wie etwa das Volumen des Systems oder die Komponenten der magnetischen Feldstärke eines äußeren Magnetfeldes.^[10][11]

Gedankenexperimente mit adiabatischen Zustandsänderungen sind grundlegend für die Ermittlung der Postulate der Thermodynamik. Sie liefern den Zusammenhang zwischen der an einem System geleisteten Arbeit und der inneren Energie des Systems.^[9] Der in der Literatur der Thermodynamik oft genutzte Carnotsche Kreisprozess beinhaltet die adiabatische Kompression und Expansion des Arbeitsgases. Bei dem axiomatischen Aufbau der Thermodynamik sind adiabatische Zustandsänderungen von zentraler Bedeutung.^[12] Die Bedingungen für adiabatische Zustandsänderungen werden in der Praxis nie ganz erreicht. Jedoch liefert diese Idealisierung für viele reale Vorgänge brauchbare bis gute Beschreibungen: etwa für schnell ablaufende Vorgänge, bei denen die Zeit für einen Temperaturausgleich nicht ausreicht, oder für Änderungen von Systemen in besonders wärmeisolierenden Behältern.

Geschichte

Der Begriff der adiabatischen Zustandsänderung entwickelte sich zusammen mit der Gas- und Wärmetheorie im 19. Jahrhundert.

Die Berechnung der Schallgeschwindigkeit in Luft regte Pierre Simon Laplace und andere zu ersten Untersuchungen von adiabatischen Zustandsänderungen bei Gasen an. Im Jahre 1802 führte er eine zu klein berechnete Schallgeschwindigkeit darauf zurück, dass bei der schnellen Expansion und Kompression von Luft kein Temperaturausgleich stattfindet und das Gesetz von Boyle-Mariotte, ${\displaystyle pV=const}$, hier nicht zutrifft. Im Jahre 1802 publizierte Jean-Baptiste Biot und im Jahre 1808 Siméon Denis Poisson Berechnungen zu Temperaturänderungen bei der adiabatischen Kompression in Schallwellen. In dieser Zeit wurden auch erste ausführliche Messungen der spezifischen Wärmekapazitäten von Gasen ausgeführt. Charles-Bernard Desormes und Nicolas Clément-Désormes publizierten 1819 für Luft erste Messwerte des Verhältnisses der Wärmekapazität bei konstantem Druck zu der bei konstantem Volumen, ${\displaystyle c_{p}/c_{v}}$. Im Jahre 1823 berechnete Poisson mit diesem Wert und einer Theorie von Laplace die Schallgeschwindigkeit.^[13]

Im Jahre 1823 argumentierte Poisson mittels adiabatischer Volumenänderungen für ein Verständnis von Wärme als einer Zustandsfunktion. 1824 benutzte Nicolas Léonard Sadi Carnot in seiner Arbeit Réflexions sur la puissance motrice du feu adiabatische Zustandsänderungen, um den Arbeitsstoff seiner idealen Wärmekraftmaschine zwischen den beiden Wärmereservoirs zu bewegen.^[14]

Im Jahre 1850 publizierte James Prescott Joule seine Messungen bei adiabatischen Zustandsänderungen mit Reibungsarbeit zur Bestimmung des Wärmeäquivalents.^[15]

Die Bezeichnung adiabatisch für Zustandsänderung ohne Wärmetransfer findet sich ab der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts in der Literatur, so spricht William John Macquorn Rankine in der Arbeit On the theory of explosive gas engines 1866 von adiabatic curves.^[16]

Der Mathematiker Constantin Carathéodory publizierte 1909 eine Arbeit über eine axiomatische Grundlegung der Thermodynamik.^[12] In dieser Arbeit haben adiabatische Zustandsänderungen in einfachen thermodynamischen Systemen eine zentrale Bedeutung. In einer Arbeit zum zweiten Hauptsatz der Thermodynamik und der Entropie von 1999 nutzten Lieb und Yngvason adiabatische Zustandsänderungen zur Definition der Relation der adiabatischen Erreichbarkeit im thermodynamischen Zustandsraum.^[17]

Beispiele

Unter der in der Einleitung gegebenen Definition der adiabatischen Zustandsänderung fallen sehr viele Arten thermodynamischer Vorgänge,^[17] so auch solche, die nicht quasistatisch verlaufen. Beim Lesen verschiedener Lehrbücher kann ein anderer Eindruck entstehen, da dort oft adiabatische Zustandsänderungen nur im Zusammenhang mit quasistatischen Vorgängen an einfachen Systemen betrachtet werden.

Nach Definition darf bei einer adiabatischen Zustandsänderung dem thermodynamischen System Energie nur mittels mechanischer, elektrischer oder magnetischer Arbeit zu- oder von ihm abgeführt werden, gegen Wärmeströme jeglicher Form muss das System isoliert sein; es darf im Idealfall keine Wärmeleitung, keine konvektive Wärmeübertragung und keine Wärmestrahlung zwischen dem System und der Außenwelt geben.

In der Realität ist eine vollständige Wärmeisolation nicht erreichbar, aber reale Vorgänge können in guter Näherung adiabatisch ablaufen, wenn

• sie in einem gut isolierenden Behälter stattfinden, etwa in einem Dewargefäß oder einem adiabatischen Kalorimeter,
• die Zustandsänderung so schnell verläuft, dass in der kurzen Zeit wenig Wärme zu- oder abfließen kann (z. B. in einem Verbrennungsmotor, bei einer Luftpumpe oder bei der Schallausbreitung) oder
• das Volumen des Systems sehr groß ist, so dass Wärmeströme an seinem Rand praktisch keine Rolle spielen (z. B. bei thermisch aufsteigenden Luftpaketen).

Kompression und Expansion von Gasen

Die Kompression der Luft in einer Luftpumpe ist näherungsweise eine adiabatische Zustandsänderung. Die Arbeit, die an der Pumpe verrichtet wird, erhöht die innere Energie der Luft, und damit steigt auch die Temperatur der Luft. Bei schneller wiederholter Kompression, etwa beim Aufpumpen eines Fahrradreifens, ist die Temperaturerhöhung an der Pumpe gut fühlbar. Die zusätzliche innere Energie wird in der Umgangssprache auch Kompressionswärme oder Verdichtungswärme genannt.

Nebelbildung im Unterdruckbereich der Tragflächen eines Flugzeuges

Bei einem pneumatischen Feuerzeug wird Luft schnell auf weniger als ein Zwanzigstel ihres ursprünglichen Volumens komprimiert. Die Luft wird dabei so heiß, dass der eingelagerte Zunder erglimmt und damit dann ein Feuer entfacht werden kann.

Wird umgekehrt bei einer Ausdehnung eines Luftvolumens innere Energie in Volumenarbeit gewandelt, so fällt die Temperatur des expandierenden Gases. Bekannt ist die Abkühlung von Luftmassen beim thermischen Auftrieb oder beim Aufsteigen an Gebirgsrändern. Auch auf der Oberseite von Tragflächen von Verkehrsflugzeugen tritt eine adiabatische Expansion und damit eine Abkühlung der Luft auf, siehe Dynamischer Auftrieb. Die Abkühlung wird sichtbar, wenn die mit der Temperatur sinkende Sättigungskonzentration unter die vorhandene Luftfeuchtigkeit fällt und es zur Wolken- oder Nebelbildung kommt.

Kohlendioxid expandiert adiabatisch beim Öffnen einer Sektflasche und kühlt dabei unter Bildung einer kleinen Nebelwolke die umgebende Luft ab.^[18]

Beim vorsichtigen Entkorken einer auf 6 °C gekühlten Sektflasche expandiert das über der Flüssigkeit im Flaschenhals bei 4,5 bar eingeschlossene Kohlendioxid adiabatisch auf den Umgebungsdruck von 1 bar. Dabei kühlt das Gas sich ab. Das dann bis zu −75 °C kalte Kohlendioxid vermischt sich mit der Umgebungsluft der Flaschenöffnung, dort fällt dann die Temperatur unter den Taupunkt und damit kondensiert das in der Luft vorhandene gasförmige Wasser (Feuchte) zu feinen Wassertröpfchen und sogar Eiskristallen, die aufgrund der Mie-Streuung des Lichts als kleine weißgraue Wolke sichtbar werden – siehe Bild. Wird eine zimmerwarme (20 °C) Sektflasche vorsichtig entkorkt, so beträgt der Gasdruck in der geschlossenen Flasche sogar um 7 bar und das Kohlendioxid kühlt sich adiabatisch auf fast −90 °C ab, was zur Bildung von Trockeneis-Partikeln im und über dem Flaschenhals führen kann, sichtbar durch die anfangs blaue Farbe aufgrund der Rayleigh-Streuung. Eine detaillierte thermodynamische Untersuchung des Entkorkens von Sektflaschen wurde von G. Liger-Belair und Mitarbeiter durchgeführt.^[19]

Auch bei dem Gay-Lussac-Versuch handelt es sich um eine adiabatische Zustandsänderung. Bei der Expansion des Gases wird allerdings keine innere Energie in äußere Arbeit umgewandelt. Der Vorgang verläuft nicht quasistatisch, nur am Anfang und Ende ist das System in einem thermodynamischen Gleichgewicht. Ideale Gase ändern dabei ihre Temperatur nicht.

Reibung

Es ist eine adiabatische Zustandsänderung, wenn an einem thermisch isolierten System Reibungsarbeit geleistet wird und sich das System zu Beginn und am Ende des Arbeitsprozesses im thermodynamischen Gleichgewicht befindet.

Joules Versuchsaufbau zur Bestimmung des Wärmeäquivalents

Die Versuchsdurchführung in dem klassischen Experiment zur Bestimmung des Wärmeäquivalents durch James Prescott Joule ist ein derartiger Prozess. Das System von Joule bestand aus einem Kupferbehälter mit Wasser und einem integrierten Rührwerk. Über das Rührwerk und einer Vorrichtung mit Gewichten wurde eine genau messbare mechanische Arbeit in innere Energie des Systems (vor allem Wasser) verwandelt. Joule hat die Temperatur vor und nach der Reibungsarbeit gemessen. In seinem Versuchsbericht von 1850 geht er auch auf seine Vorkehrungen zur thermischen Isolierung des Systems ein.^[15]

An Stelle einer definierten Menge mechanischer Arbeit kann auch eine gemessene Menge elektrischer Arbeit ${\displaystyle \int U(t)I(t)dt}$ an einem System geleistet werden, um etwa die Wärmekapazität einer Substanz zu bestimmen. Das Rührwerk wird dabei durch eine elektrische Heizung ersetzt; das thermodynamische System besteht aus einem Behälter, der Substanz und der Heizung. Zur thermischen Isolation befindet sich das System am besten in einem Dewargefäß oder einem adiabatischen Kalorimeter. Wenn sich vor und nach dem Einbringen der elektrischen Energie das System im thermodynamischen Gleichgewicht befindet, handelt es sich um eine adiabatische Zustandsänderung.

Elektrochemische Zelle

Ein Akkumulator als thermodynamisches System kann Energie in Form von elektrischer Arbeit nach außen abgeben oder ihm kann Energie mittels elektrischer Arbeit von außen zugeführt werden, je nach Stromrichtung in den elektrischen Zuleitungen. Die Zuführung oder Entnahme elektrischer Energie führt zu einer Änderung der Stoffmengen an den Elektroden. Wenn dabei der Akkumulator durch ein adiabatisches Kalorimeter thermisch isoliert ist, handelt es sich um adiabatische Zustandsänderungen. Da bei dem Vorgang immer ohmsche Verluste auftreten, erwärmt sich das System mehr oder weniger stark. Schon wegen dieser ohmschen Verluste ist die Zustandsänderung nicht reversibel. Solche adiabatische Zustandsänderungen werden etwa bei Sicherheitsprüfungen von Batterien herbeigeführt und vermessen.^[20]

Zusammenführung von Systemen

In der Thermodynamik werden häufig adiabatische Zustandsänderungen betrachtet, bei welchen der Anfangszustand aus zwei Systemen besteht, die jeweils für sich im thermodynamischen Gleichgewicht sind. Die beiden Systeme werden als ein einziges zusammengesetztes System betrachtet. Die Zustandsänderung erfolgt, in dem die Systeme ohne Arbeitsaufwand miteinander verbunden werden und dann miteinander wechselwirken; etwa durch einen thermischen Kontakt oder durch Herausnahme einer Trennwand zwischen den Systemen – z. B. Öffnen eines Trennventils. Die dabei ablaufenden Vorgänge sind irreversibel und können sehr heftig verlaufen. Die Änderung ist abgeschlossen, wenn das gesamte System sich nach der Kopplung nicht mehr ändert, also zu einem neuen thermodynamischen Gleichgewicht gefunden hat.

Dewargefäß
(Deutsches Museum, München)

Damit die Zustandsänderung adiabatisch ist, muss das zusammengesetzte System von der Umgebung thermisch isoliert sein, hierfür eignen sich Dewargefäße oder adiabatische Kalorimeter.^{[21] [22][23]} Es folgen einige Beispiele für solche Zustandsänderungen:

• Lösungswärme-Bestimmung: Ein System bestehe aus einer bekannten Stoffmenge Wasser und das andere aus einer bekannten Stoffmenge Kochsalz. Beide Systeme haben Zimmertemperatur. Dann wird das Salz in das Wasser gegeben – Kopplung der Systeme. Es löst sich in dem Wasser auf, anschließend wird die Temperatur der Salzlösung gemessen.^[24]
• Neutralisationswärme-Bestimmung: Ein System sei eine Säure und das andere eine Lauge. Dann werden Säure und Lauge vorsichtig zusammengerührt und die Temperatur der Mischung verfolgt, bis sie sich nicht mehr ändert. Aus der Temperaturänderung und den Stoffmengen, kann die Neutralisationswärme bestimmt werden.
• Chemische Reaktion: Am Anfang sei ein System von zwei mol Wasserstoff und ein System mit ein mol Sauerstoff gegeben. Wird ein Trennventil zwischen den beiden Systemen geöffnet, entsteht eine Knallgasmischung, die schließlich zu Wasser reagiert. Im Endzustand besteht das System aus Wasser.
• Phasen im Gleichgewicht: Ein System sei Wasser in der flüssigen Phase, das Zweite Wasserdampf in einem Behälter. Nach einer Verbindung der beiden Systeme stellt sich ein Gleichgewicht, zwischen der flüssigen und der gasförmigen Phase ein.

Wärmeausgleich zwischen zwei Systemen

Seien A und B zwei einfache Systeme, bei Prozessbeginn getrennt und jeweils im thermischen Gleichgewicht. A habe eine höhere Temperatur als B.

• Irreversibler Wärmeausgleich: Werden die Systeme zusammengeschoben, so dass sie sich berühren, oder werden sie über einen Kupferdraht miteinander thermisch verbunden, fließt Wärme irreversibel vom System A zum System B, bis beide Systeme die gleiche Endtemperatur haben.
• Reversibler Wärmeausgleich: Wird die Wärmeenergie von dem wärmeren zu dem kälteren System durch eine ideale Wärmekraftmaschine – Carnot-Prozess – transportiert, nähern sich die Temperaturen der Systeme an. Dabei wird zusätzlich zu der Wärmeübertragung von dem Gesamtsystem eine Arbeit geleistet, ihm also Energie entzogen. Wird dieser Prozess solange wiederholt, bis die Temperaturen der beiden Systeme gleich sind, so ist die Endtemperatur niedriger als beim irreversiblen Wärmeaustausch, da die Energie des Gesamtsystems abgenommen hat, die Entropie aber gleich geblieben ist. Umgekehrt kann die Temperaturdifferenz zwischen den Systemen A und B auch wieder vergrößert werden, wenn unter Zuführung äußerer Arbeit die Maschine zwischen den Systemen als Wärmepumpe betrieben wird.

Theorie

Eine adiabatische Zustandsänderung ist eine Änderung eines bis auf Arbeitsprozesse isolierten thermodynamischen Systems von einem Gleichgewichtszustand ${\displaystyle z_{1}}$ zu einem Gleichgewichtszustand ${\displaystyle z_{2}}$; an dem System kann von außen eine mechanische oder elektrische Arbeit ${\displaystyle W}$ verrichtet werden oder es kann eine solche Arbeit leisten. Wird durch die Arbeit dem System Energie zugeführt, dann ist ${\displaystyle W>0}$; leistet das System Arbeit, dann ist ${\displaystyle W<0}$; wird keine Arbeit verrichtet, so ist ${\displaystyle W=0}$. Für den Aufbau der Thermodynamik ist es wichtig, dass diese Definition der adiabatische Zustandsänderung ohne den Begriff Wärme auskommt.

Adiabatische Erreichbarkeit

Ein Zustand ${\displaystyle z_{2}}$ eines thermodynamischen Systems wird als von dem Zustand ${\displaystyle z_{1}}$ adiabatisch erreichbar bezeichnet, wenn es eine adiabatische Zustandsänderung gibt, welche ${\displaystyle z_{1}}$ als Anfangs- und ${\displaystyle z_{2}}$ als Endzustand hat.

Für ein thermodynamisches System gelten die beiden Postulate:

• Für je zwei Gleichgewichtszustände ${\displaystyle z_{1}}$ und ${\displaystyle z_{2}}$ gilt: ${\displaystyle z_{2}}$ ist von ${\displaystyle z_{1}}$ adiabatisch erreichbar oder ${\displaystyle z_{1}}$ von ${\displaystyle z_{2}}$.
• Gibt es zwei adiabatische Zustandsänderungen mit dem gleichen Anfangszustand ${\displaystyle z_{1}}$ und dem gleichen Endzustand ${\displaystyle z_{2}}$, dann ist die Arbeit ${\displaystyle W_{1}}$ der einen Zustandsänderung gleich der Arbeit ${\displaystyle W_{2}}$ der anderen.

Für zwei Zustände ${\displaystyle z_{1}}$ und ${\displaystyle z_{2}}$ kann es sein, dass sowohl ${\displaystyle z_{2}}$ von ${\displaystyle z_{1}}$ mit einer Arbeit ${\displaystyle W_{1}}$ adiabatisch erreichbar ist, als auch ${\displaystyle z_{1}}$ von ${\displaystyle z_{2}}$ mit einer Arbeit ${\displaystyle W_{2}}$ adiabatisch erreichbar ist, dann gilt ${\displaystyle W_{2}=-W_{1}}$.

Definition der inneren Energie

Aufgrund dieser Postulate ist es möglich, die innere Energie als Zustandsfunktion für ein thermodynamisches System einzuführen. Für einen beliebigen Gleichgewichtszustand ${\displaystyle z_{0}}$ wird ein Wert ${\displaystyle U(z_{0})}$ willkürlich festgesetzt. Die innere Energie für einen beliebigen Zustand ${\displaystyle z}$ ergibt sich dann wie folgt:

• ist ${\displaystyle z}$ von ${\displaystyle z_{0}}$ durch eine adiabatische Zustandsänderung mit einer Arbeit ${\displaystyle W}$ erreichbar, dann gilt ${\displaystyle U(z)=U(z_{0})+W}$.
• andernfalls muss ${\displaystyle z_{0}}$ von ${\displaystyle z}$ durch eine adiabatische Zustandsänderung mit einer Arbeit ${\displaystyle W}$ erreichbar sein und es ist ${\displaystyle U(z)=U(z_{0})-W}$.

Die Wärmemenge als physikalische Größe

Die innere Energie ist nur bis auf eine Konstante festgelegt. Mit ihr wird für eine allgemeine Zustandsänderung eines thermisch nicht isolierten Systems von einem Anfangszustand ${\displaystyle z_{a}}$ zu einem Endzustand ${\displaystyle z_{b}}$ und einer Arbeit ${\displaystyle W}$ die dabei dem System zugeführte Wärme durch

${\displaystyle Q=U(z_{b})-U(z_{a})-W}$

definiert. Für eine adiabatische Zustandsänderung folgt ${\displaystyle Q=0}$.

Adiabatische Zustandsänderungen werden nicht nur gebraucht, um – wie gerade gezeigt – die innere Energie und die Wärme als physikalische Größen zu definieren, sie können auch im Rahmen eines axiomatischen Aufbaus der Thermodynamik dazu dienen, die Temperatur und die Entropie einzuführen. Hier sind zwei Ansätze erwähnenswert:

Axiomatische Modelle

Schematische Darstellung des Zustandsraumes eines einfachen thermodynamischen Systems – dicke Linien zeigen Hyperflächen mit konstanter Entropie, der Pfeil zeigt die Richtung zunehmender Entropie ${\displaystyle S}$ – Der Zustand ${\displaystyle z_{2}}$ ist von ${\displaystyle z_{1}}$ adiabatisch erreichbar aber nicht ${\displaystyle z_{1}}$ von ${\displaystyle z_{2}}$. – Sowohl ${\displaystyle z_{3}}$ ist von ${\displaystyle z_{2}}$ adiabatisch erreichbar als auch umgekehrt ${\displaystyle z_{2}}$ von ${\displaystyle z_{3}}$.

Der Mathematiker Constantin Carathéodory setzt in seiner Untersuchung^[12] über die Grundlagen der Thermodynamik die Aussage:

„In jeder beliebigen Umgebung eines willkürlich vorgeschriebenen Anfangszustandes gibt es Zustände, die durch adiabatische Zustandsänderungen nicht beliebig approximiert werden können.“

als ein Axiom an den Anfang eines mathematischen Modells für thermodynamische Systeme. Dieses Axiom ist dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik äquivalent.^[17]

Carathéodory führt in seiner Arbeit den Begriff des einfachen thermodynamischen Systems ein: es ist ein System, bei dem jeder Gleichgewichtszustand allein durch die Angabe eines Wertes ${\displaystyle U}$ für die innere Energie und eines Tupel äußerer Parameter ${\displaystyle V_{1},\dots ,V_{m}}$ für die äußeren Nebenbedingungen eindeutig festgelegt ist.

Elliot H. Lieb und Jakob Yngvason entwickeln in einer neueren Arbeit^[17] zum zweiten Hauptsatz der Thermodynamik ein mathematisches Modell für thermodynamische Systeme ohne die bei Caratheodory gemachten impliziten Annahmen über analytische Eigenschaften der Zustandsfunktionen. Dieses Modell baut auf der durch die adiabatische Erreichbarkeit gegebene Quasiordnung im Zustandsraum auf; siehe hierzu auch die nebenstehende schematische Zeichnung. Eine Darstellung in Deutsch mit anschaulichen Anwendungsbeispielen findet sich in einem Lehrbuch von André Thess.^[25]

Mit ergänzenden Axiomen zur Skalierung und Kopplung thermodynamischer Systeme definieren Lieb und Yngvason für Gleichgewichtszustände die Zustandsfunktion der Entropie und hierüber erst die Temperatur. Für die Entropie ${\displaystyle S(z)}$ gilt die Monotonie: In einem einfachen thermodynamischen System ist ein Gleichgewichtszustand ${\displaystyle z_{2}}$ von einem Zustand ${\displaystyle z_{1}}$ adiabatisch erreichbar, genau dann wenn ${\displaystyle S(z_{2})\geq S(z_{1})}$.

Adiabaten

Eine adiabatische Zustandsänderung wird quasistatisch genannt, wenn sich das System bei der Änderung zu jedem Zeitpunkt nahezu im thermodynamischen Gleichgewicht befindet. In diesem Fall beschreiben die bei der Änderung eingenommenen Gleichgewichtspunkte einen zusammenhängenden Weg im Zustandsraum ${\displaystyle \Gamma }$. Dieser Weg wird Adiabate genannt, wenn die quasistatische Zustandsänderung allein durch die Veränderung von äußeren Parametern des Systems mittels idealisierter äußerer Vorrichtungen gesteuert wird. Äußere Parameter sind dabei Größen, die die äußeren, idealisierten Nebenbedingungen des thermodynamischen Systems beschreiben; wie etwa das Volumen des Systems oder die Komponenten der magnetischen Feldstärke eines äußeren Magnetfeldes. Der Verlauf von Zustandsänderungen bei Prozessen mit Reibungsarbeit wird dagegen nicht als Adiabate bezeichnet.^[10]

Können die äußeren Nebenbedingungen eines Systems durch ${\displaystyle n}$ äußere Parameter ${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}}$ beschrieben werden, dann gibt es zu jedem äußeren Parameter ${\displaystyle \alpha _{i}}$ eine Funktion ${\displaystyle \beta _{i}(z)}$, so dass bei einer adiabatischen Zustandsänderung längs einer Adiabaten die an dem System geleistete Arbeit ${\displaystyle W}$ gleich dem Wegintegral über eine 1-Form ist.^[10]

${\displaystyle W=U(z_{2})-U(z_{1})=\int _{z_{1}}^{z_{2}}\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}(z)d\alpha _{i}}$

Einfache thermodynamischen Systeme^[12][17][25] sind solche Systeme, bei welchen die äußeren Parametern zusammen mit der inneren Energie ${\displaystyle U}$ einen Gleichgewichtszustand eindeutig bestimmt; die Größen ${\displaystyle U,\alpha _{1},...,\alpha _{n}}$ bilden dann ein Koordinatensystem in ${\displaystyle \Gamma }$. Beispiele für nicht einfache thermodynamische Systeme sind das Gesamtsystem aus zwei voneinander isolierten, einfachen Systemen oder wegen der Hysterese ein System mit ferromagnetischem Material.

Bei einfachen thermodynamischen Systemen sind die quasistatischen adiabatischen Zustandsänderungen immer reversibel.^[9] Damit sind die Adiabaten bei einfachen thermodynamischen Systemen auch zugleich Kurven konstanter Entropie; bei diesen Systemen sind die Adiabaten identisch mit den Isentropen. Wegen der großen praktischen Bedeutung dieser einfachen Systeme wird Adiabate und Isentrope in der Literatur oft synonym gebraucht. Dieses kann allerdings verwirren, da bei nicht einfachen thermodynamischen Systemen Adiabate und Isentrope verschieden sein können. Außerdem setzt die Einführung der Entropie in der Thermodynamik den Begriff der adiabatischen Zustandsänderung bereits voraus.^[9]

Adiabaten des idealen Gases

Die Gleichgewichtszustände des einfachen thermodynamischen Systems bestehend aus einer konstanten Stoffmenge ${\displaystyle n}$ eines Gases in einem Behälter mit dem veränderbaren Volumen ${\displaystyle V}$ bilden einen zweidimensionalen Zustandsraum ${\displaystyle \Gamma }$. Werden die Temperatur des Gases ${\displaystyle T}$ und das Volumen ${\displaystyle V}$ als Koordinaten für die Punkte in ${\displaystyle \Gamma }$ gewählt, so ergibt sich für die durch eine Änderung des Volumens um ${\displaystyle dV}$ an dem System geleistete Arbeit:^{[A 1]}

${\displaystyle \delta W=-p(T,V)dV=-{\frac {nRT}{V}}dV}$

Die letzte Gleichheit gilt nur für ein ideales Gas, bei ihm ist der Druck ${\displaystyle p(T,V)}$ durch die Zustandsfunktion des idealen Gases ${\displaystyle p(T,V)=(nRT)/V}$ gegeben, mit ${\displaystyle n}$ als Stoffmenge und ${\displaystyle R}$ der Gaskonstanten. Weiter ist bei einem idealen Gas die Änderung der inneren Energie ${\displaystyle U}$ unabhängig vom Volumen ${\displaystyle V}$ und proportional der Temperaturänderung.

${\displaystyle dU=nc_{v}dT}$

${\displaystyle c_{v}}$ ist die konstante molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen.

Bei adiabatischen Prozessen gilt

${\displaystyle dU=\delta W\quad }$ und damit für das ideale Gas ${\displaystyle \quad nc_{v}dT+{\frac {nRT}{V}}dV=0\quad }$

Diese Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn

${\displaystyle \quad TV^{\frac {R}{c_{v}}}={\text{konstant}}}$

ist.^[9][26][27] Dies lässt sich durch Umformung und Integration der Gleichung herleiten:

${\displaystyle \quad {\frac {\mathrm {d} T}{T}}+{\frac {R}{c_{v}}}{\frac {\mathrm {d} V}{V}}=0\quad \Rightarrow \quad \ln(T)+{\frac {R}{c_{v}}}\ln(V)=\ln(TV^{\frac {R}{c_{v}}})={\text{const.}}}$

Das bedeutet: ist das System am Anfang einer adiabatischen Zustandsänderung an dem Punkt ${\displaystyle (T_{1},V_{1})}$ und am Ende sei das Volumen ${\displaystyle V_{2}}$, dann errechnet sich die Endtemperatur ${\displaystyle T_{2}}$ zu:

${\displaystyle T_{2}=T_{1}\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\frac {R}{c_{v}}}=T_{1}\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\gamma -1}}$

Adiabate und Isotherme für ein ideales einatomiges Gas

In der letzten Gleichung wurde der Exponent ${\displaystyle R/c_{v}}$ durch den hier häufig gebrauchten Adiabatenexponenten ${\displaystyle \gamma =c_{p}/c_{v}}$ mit ${\displaystyle c_{p}=c_{v}+R}$ ausgedrückt, für Luft ist ${\displaystyle \gamma =1{,}4}$. Werden die Punkte in ${\displaystyle \Gamma }$ durch die Koordinaten ${\displaystyle (p,V)}$ oder ${\displaystyle (T,p)}$ beschrieben, so lautet die Gleichung

${\displaystyle \quad p_{2}=p_{1}\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{\gamma }}$ bzw. ${\displaystyle \quad T_{2}=T_{1}\left({\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)^{\frac {1-\gamma }{\gamma }}}$

Sie folgen aus der ersten Beziehung unter Ausnutzung der Zustandsgleichung für ideale Gase. Diese Gleichungen werden Adiabatengleichungen oder Poissongleichungen genannt.^[28] Jede ist jeweils eine Bedingungsgleichung für die Adiabate eines idealen Gases in dem ${\displaystyle (T,V)}$-, ${\displaystyle (p,V)}$- bzw. ${\displaystyle (T,p)}$-Diagramm.

Numerische Beispiele für Luft

Beim lokalen Druckwechsel im Zuge der Schallausbreitung in Luft, bei dem Aufstieg großer Luftmassen in der Atmosphäre, bei Wärmekraftmaschinen (siehe hierzu auch Verdichtungsverhältnis) oder bei einer Luftpumpe gibt es Expansionen oder Kompressionen von Luftmassen, die sich oft in guter Näherung als adiabatische Zustandsänderungen beschreiben lassen.

Aus den Anfangswerten ${\displaystyle V_{1},p_{1},T_{1}}$, dem Kompressionsverhältnis und dem Adiabatenexponenten ${\displaystyle \gamma =1{,}4}$ können die Endwerte ${\displaystyle p_{2},T_{2}}$ bzw. ${\displaystyle V_{2},T_{2}}$ für eine solche Zustandsänderung berechnet werden. Für einige Beispielwerte von ${\displaystyle V_{2}/V_{1}}$ finden sich nach der obigen Adiabatengleichung berechnete Werte in der folgenden Tabelle.

Vorgang	${\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{1}}}}$	${\displaystyle {\frac {p_{2}}{p_{1}}}}$	${\displaystyle {\frac {T_{2}}{T_{1}}}}$	${\displaystyle (T_{2}-T_{1})/\mathrm {K} }$ bei ${\displaystyle T_{1}=293{,}15\,\mathrm {K} }$
Fälle adiabatischer Kompression
Schall von einem sprechenden Menschen in 1 m Abstand	${\displaystyle 0{,}99999985}$	${\displaystyle 1{,}00000020}$	${\displaystyle 1{,}00000010}$	${\displaystyle 0{,}0003}$
Volumenreduktion um 10 %	${\displaystyle 0{,}9}$	${\displaystyle 1{,}16}$	${\displaystyle 1{,}04}$	${\displaystyle 12{,}6}$
Volumenreduktion um 50 %	${\displaystyle 0{,}5}$	${\displaystyle 2{,}64}$	${\displaystyle 1{,}32}$	${\displaystyle 93{,}7}$
Fahrradpumpe von 1 auf 5 bar absolut, also 4 bar Überdruck	${\displaystyle 0{,}316}$	${\displaystyle 5}$	${\displaystyle 1{,}584}$	${\displaystyle 171{,}2}$
Ottomotor (Verdichtung 1:10)	${\displaystyle 0{,}1}$	${\displaystyle 25{,}11}$	${\displaystyle 2{,}51}$	${\displaystyle 443{,}2}$
Dieselmotor (Verdichtung 1:20)	${\displaystyle 0{,}05}$	${\displaystyle 66{,}29}$	${\displaystyle 3{,}31}$	${\displaystyle 678{,}5}$
(Hochdruckkompressor füllt eine Tauchflasche von 1 bar Umgebungsdruck auf 199 bar Überdruck)	${\displaystyle 0{,}0227}$	${\displaystyle 200}$	${\displaystyle 4{,}543}$	${\displaystyle 1038{,}9}$
Verdichtung 1:100 (noch extremere Verdichtung gibt es z. B. beim Wiedereintritt)	${\displaystyle 0{,}01}$	${\displaystyle 631}$	${\displaystyle 6{,}31}$	${\displaystyle 1556{,}5}$
Fälle adiabatischer Expansion
Aufstieg trockener Luft um ca. 100 m in der unteren Erdatmosphäre	${\displaystyle 1{,}01}$	${\displaystyle 0{,}986}$	${\displaystyle 0{,}996}$	${\displaystyle -1{,}16}$
Aufstieg trockener Luft um ca. 1000 m in der unteren Erdatmosphäre	${\displaystyle 1{,}1}$	${\displaystyle 0{,}88}$	${\displaystyle 0{,}96}$	${\displaystyle -10{,}96}$
–	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 0{,}38}$	${\displaystyle 0{,}76}$	${\displaystyle -71{,}0}$
Ausströmen von Pressluft, Druckminderung von 10 bar auf 1 bar	${\displaystyle 5{,}18}$	${\displaystyle 0{,}1}$	${\displaystyle 0{,}518}$	${\displaystyle -141{,}3}$
–	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 0{,}039}$	${\displaystyle 0{,}40}$	${\displaystyle -176{,}4}$
(Ausströmen von Pressluft, Druckminderung von 200 bar auf 1 bar)	${\displaystyle 44{,}014}$	${\displaystyle 0{,}005}$	${\displaystyle 0{,}220}$	${\displaystyle -228{,}6}$

Die ermittelte Temperaturveränderung der absoluten Temperatur ${\displaystyle T_{2}-T_{1}}$ (in Kelvin oder zugleich °Celsius) in der letzten Spalte gelten für eine Ausgangstemperatur ${\displaystyle T_{1}=293{,}15\,\mathrm {K} }$ (= 20 °C) am Anfang des Vorgangs.

Die hier berechneten Werte gelten für idealisierte Luft, also unter folgenden Annahmen:

• ideales Gas, also
  • geringer Druck (<100 bar) (Fälle mit höherem Druck sind eingeklammert) und
  • ausreichend hohe Temperatur (>200 K)
• eine temperaturunabhängige molare Wärmekapazität ${\displaystyle c_{v}}$, tatsächlich nimmt diese bei Stickstoff und Sauerstoff langsam mit der Temperatur zu.
• zweiatomige Moleküle wie Stickstoff N₂, Sauerstoff O₂ (1- und 3-atomige Moleküle haben abweichende Adiabatenexponenten ${\displaystyle \gamma }$); nur bei Edelgasen ist der Adiabatenexponent konstant, bei mehratomigen Molekülen fällt er langsam mit zunehmender Temperatur.
• trockene Luft, also frei von Wasserdampf (enthält Luft Wasserdampf kann Kondensation auftreten, sowohl bei Druckerhöhung als auch durch Temperaturabsenkung unter den Taupunkt)
• Die Wände des Behälters bewegen sich mit Geschwindigkeiten, die kleiner als die mittlere thermische Geschwindigkeit der Moleküle sind. Als praktische Grenzgeschwindigkeit kann die Schallgeschwindigkeit angesehen werden, da diese von der Größenordnung der thermischen Geschwindigkeiten ist.

Mikroskopische Betrachtung

Eine adiabatische Zustandsänderung lässt sich makroskopisch an einem Systems aus vielen Teilchen betrachten und beschreiben. Die Änderungen im mikroskopischen Bereich lassen sich an folgendem Beispiel eines Gases in einem adiabaten Zylinder nachvollziehen; ein ideales, stark verdünntes Gas bei Umgebungstemperatur wird mittels eines Kolben auf das halbe Volumen komprimiert wird. Daraus resultiert eine Temperaturerhöhung und eine Druckerhöhung, die sich so erklären lassen:

• Während der Kolben das Volumen komprimiert, bewegt er sich. Die Gasteilchen, die dann auf den Kolben prallen, erhalten beim Rückprall eine höhere Geschwindigkeit^[29]. Dieser Anteil der zugeführten Energie erhöht die Temperatur des Gases im Kolben. Die Bewegungsgeschwindigkeit des Kolbens ist bei einem wärmedichten Zylinder (bei einer adiabaten Kompression vorausgesetzt) für die Temperaturzunahme unerheblich. Bei langsamer Bewegung finden viele Teilchenstöße mit geringer Geschwindigkeitszunahme statt oder bei schneller Bewegung finden wenige Stöße mit großer Geschwindigkeitszunahme statt.
• Der Druck entsteht dadurch, dass die Gasteilchen (Atome bei Edelgasen, Moleküle bei anderen idealen Gasen) sich sehr schnell bewegen und regelmäßig mit der Wand des Zylinders oder dem Kolben zusammenstoßen und wieder abprallen.^[30][26] Halbiert man das Volumen, so halbiert sich die Strecke für die Gasteilchen zwischen den Zylinderwänden und dem Kolben. Da gleiche Anzahl von Teilchen nun bei halbiertem Volumen doppelt so oft auf den Kolben prallen, erhöht sich schon allein daher der makroskopisch messbare Druck. Da die mittlere Geschwindigkeit zusätzlich nun noch größer ist, fällt die Druckerhöhung größer als bei einer isothermen Kompression aus. Weil die Gasteilchen auch untereinander zusammenstoßen und Impuls austauschen, zeigt sich die Druckerhöhung nicht nur am Kolben, sondern an der gesamten Innenwand des Zylinders.

Siehe auch

• Adiabate Maschine
• Dissipation

Literatur

• Günther Ludwig: Einführung in die Grundlagen der theoretischen Physik. Band 4. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1979, ISBN 3-528-09184-3, XIV Thermodynamik (Das Buch zeigt die grundlegende Bedeutung von adiabatischen Zustandsänderungen für die Thermodynamik. Beim Lesen ist zu beachten: Ludwig benutzt statt adiabatische Zustandsänderung den Begriff Arbeitsprozess – die Begriffe bezeichnen nicht genau das Gleiche – und für quasistatisch adiabatische Zustandsänderung längs einer Adiabaten den Begriff adiabatischer Prozess.).
• André Thess: Das Entropieprinzip – Thermodynamik für Unzufriedene. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2014, ISBN 978-3-486-76045-3, Adiabatische Erreichbarkeit (erläutert im Kapitel 2 die Bedeutung und die Vielfalt von adiabatischen Zustandsänderungen).

Weblinks

Commons: Adiabatic processes – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: adiabatisch – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Lern-Modul zu adiabatischen Prozessen in der Atmosphäre
• Rechenprogramm für reversible Zustandsänderungen des idealen Gases
• Video: Berechnung der adiabatische Expansion von Wasserdampf nach POISSON. Jakob Günter Lauth (SciFox) 2013, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.5446/15696.

Anmerkungen

1. Die geleistete Arbeit ist hier als Differentialform geschrieben, eine reale Arbeit ergibt sich als ein Integral dieser Ein-Form über den Prozessweg. Da die Differentialform für die verrichtete Arbeit sich im Allgemeinen nicht als totales Differential einer Zustandsfunktion schreiben lässt, wird hier statt des Symbols ${\displaystyle dW}$ das Symbol ${\displaystyle \delta W}$ benutzt.

Einzelnachweise

1. Christian Gerthsen, Hans Otto Kneser, Helmut Vogel: Physik. 16. Auflage. Springer-Verlag, 1989, 5.2.5 Adiabatische Zustandsänderungen, S. 202.
2. Schreibweise wie in Abschnitt 4.4 von Bošnjaković/Knoche: Technische Thermodynamik, Teil 1. 8. Auflage. Steinkopff-Verlag, Darmstadt 1998.
3. Schreibweise wie in Abschnitt 3.3.4, Cornel Stan: Thermodynamik des Kraftfahrzeugs. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-27629-3.
4. Siehe Abschnitt 2.1 „Wärmeübergang“ in Bošnjaković/Knoche: Technische Thermodynamik, Teil 1. 8. Auflage. Steinkopff-Verlag, Darmstadt 1998.
5. Stephen H. Schneider und Michael Mastrandrea: Encyclopedia of Climate and Weather Abs-Ero. Oxford University Press, 2011, ISBN 978-0-19-976532-4, S. 385 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
6. P.A. Pilavachi: Energy Efficiency in Process Technology. Springer Science & Business Media, 2012, ISBN 978-94-011-1454-7, S. 395 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
7. Lucjan Piela: Ideas of Quantum Chemistry. Elsevier, 2006, ISBN 978-0-08-046676-7, S. 253 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
8. Peter Stephan, Karlheinz Schaber, Karl Stephan, Franz Mayinger: Thermodynamik: Grundlagen und technische Anwendungen Band 1: Einstoffsysteme, S. 526, Springer-Verlag
9. Günther Ludwig: Einführung in die Grundlagen der theoretischen Physik. Band 4. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1979, ISBN 3-528-09184-3, XIV Thermodynamik §1.1 bis §1.4, S. 8–42.
10. Günther Ludwig: Einführung in die Grundlagen der theoretischen Physik. Band 4. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1979, ISBN 3-528-09184-3, XIV Thermodynamik §1.2, S. 10, 11, 19, 20, 21.
11. Adiabaten. In: Walter Greulich (Hrsg.): Lexikon der Physik. Band 1. Spektrum Akademischer Verlag, Berlin / Heidelberg 1998, ISBN 3-86025-291-7.
12. Constantin Carathéodory: Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodynamik. In: Mathematische Annalen. Band 67, Nr. 3, 1909, S. 355–386 (http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PID=GDZPPN002262789 digizeitschriften.de [abgerufen am 27. April 2017]).
13. zitiert nach: Bernhard S. Finn: Laplace and the speed of Sound. In: A Journal of the History of Science. Band 55, 1963, S. 7–19, doi:10.1086/349791 (englisch, http://www3.nd.edu/~powers/ame.20231/finn1964.pdf nd.edu Notre Dame,Indiana [PDF; abgerufen am 29. April 2017]).
14. Hasok Chang: Thermal Physics and Thermodynamics. In: Jed Z. Buchwald, Robert Fox (Hrsg.): The Oxford Handbook of The History of Physics. 1. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2013, ISBN 978-0-19-969625-3, S. 497–499 (englisch).
15. James Prescott Joule: On the Mechanical Equivalent of Heat. In: Royal Society London (Hrsg.): Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Band 140, 1850, S. 61–82, doi:10.1098/rstl.1850.0004 (englisch, royalsocietypublishing.org [abgerufen am 24. Juni 2017]).
16. William John Macquorn Rankine: On the theory of explosive gas engines. In: The Engineer. 27. Juli 1866 (englisch, Textarchiv – Internet Archive – Nachdruck in Miscellaneous scientific papers, 1881, dort S. 467).
17. Elliott H. Lieb, Jakob Yngvason: The Physics and Mathematics of the Second Law of Thermodynamics. In: Physics Reports. Band 310, Nr. 1, 1999, S. 1–96, doi:10.1016/S0370-1573(98)00082-9, arxiv:cond-mat/9708200 (englisch).
18. Artikel von Klaus Roth (mehrere Veröffentlichungsvarianten):
    Klaus Roth: Sekt, Champagner & Co. So prickelnd kann Chemie sein in Chemie unserer Zeit 8. Dezember 2009: Vol. 43, Issue 6, S. 418–432 doi:10.1002/ciuz.200900520
    Klaus Roth: Chemische Köstlichkeiten, Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, 2010, ISBN 978-3-527-32752-2, S. 47
    Sparkling Wine, Champagne & Co - Part 2. In: Sparkling Wine, Champagne & Co. Chemistry Europe (chemistryviews.org), abgerufen am 17. April 2023 (englisch).
19. Liger-Belair, G., Cordier, D., Honvault, J. et al.: Unveiling CO2 heterogeneous freezing plumes during champagne cork popping. In: Scientific Reports. Band 7, Nr. 10938, 2017, S. 1–12, doi:10.1038/s41598-017-10702-6 (englisch, nature.com [abgerufen am 21. April 2023]).
20. Benjamin P. A. Greiner: In-situ-Messungen an Lithium-Ionen-Batterien mit dem adiabatischen Reaktionskalorimeter. Hrsg.: Universität Stuttgart, Deutsches Zentrum für Luft- und Raumfahrt. 16. August 2012, S. 15–26 (DLR Portal [PDF; abgerufen am 28. Juni 2017] Bachelorarbeit).
21. Erich Meister: Grundpraktikum der Physikalischen Chemie. vdf Hochschulverlag AG an der ETH Zürich, Zürich 2006, 10 Kalorimetrie, Das Lösungsmittelkalorimeter, Thermometrische Titration, S. 173–187.
22. Friedrich Kohlrausch (Physiker): Praktische Physik. 24. Auflage. Band 1. Teubner, Stuttgart 1996, 3.3.4.1 Einwurf-Kalorimeter – Abschnitt: Das adiabatische Einwurfkalorimeter, S. 421 (ptb.de [ZIP]).
23. Thermische Sicherheit. Adiabatische Kalorimetrie. TÜV SÜD in der Schweiz, abgerufen am 9. Juni 2017.
24. Wilhelm Walcher: Praktikum der Physik. B.G.Teubner, Stuttgart 1966, 3.6.1 Lösungs- und Hydrationswärme, S. 125–126 (In Abschnitt 3.6.1 wird ein Praktikumsversuch zur Bestimmung der Lösungsenthalpie über die Temperaturerhöhung beschrieben; es wird das Wort Lösungswärme statt Lösungsenthalpie benutzt.).
25. André Thess: Das Entropieprinzip – Thermodynamik für Unzufriedene. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2014, ISBN 978-3-486-76045-3 (Ein Lehrbuch, welches das mathematische Modell von Lieb und Yngvason mit vielen praktischen Anwendungsbeispielen erläutert).
26. Feynman-Vorlesungen über Physik. Band 1, S. 39–5 (deutsch), Abschnitt 39.2, Formel 39.14 (englisch)
27. Gerd Wedler, Hans-Joachim Freund: Lehrbuch der Physikalischen Chemie. 6. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2012, ISBN 978-3-527-32909-0, 1.1.17 Die Umsetzung von Wärme in Arbeit bei Volumenänderungen, S. 53–54.
28. Dieter Meschede (Hrsg.): Gerthsen Physik. 23. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-25421-8, 5.2 Kinetische Gastheorie, S. 219.
29. Fran Bošnjaković, Karl-Friedrich Knoche: Technische Thermodynamik Teil 1. 8. Auflage. Steinkopff Verlag, Darmstadt 1998, ISBN 978-3-642-63818-3, 9.6 Gasdruck.
30. Fran Bošnjaković, Karl-Friedrich Knoche: Technische Thermodynamik Teil 1. 8. Auflage. Steinkopff Verlag, Darmstadt 1998, ISBN 978-3-642-63818-3, 1.6 Druck.

Thermodynamische Zustandsänderungen

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