Polygone mit 8 Seiten Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Dieser Artikel befasst sich mit der geometrischen Figur Achteck. Für die scherzhaft so bezeichnete Bedürfnisanstalt siehe Café Achteck.
Ein Achteck (auch Oktogon oder Oktagon, von lat. octogonum, octagonum, octagonon, von griech. ὀκτάγωνον oktágōnon) ist eine geometrische Figur und ein Vieleck (Polygon) mit acht Ecken und acht Seiten. Achtecke lassen sich, wie alle Polygone, die keine Dreiecke sind, in konvexe, konkave und überschlagene Achtecke einteilen. In Variationen wird dies näher beschrieben und im Anschluss daran das regelmäßige Achteck ausführlich dargestellt.
konvexes Achteck, in dem alle Innenwinkel kleiner als 180° sind. Ein konvexes Achteck kann regelmäßig (Einleitungsbild) oder unregelmäßig (Bild1) sein.
Das regelmäßige Achteck ist bestimmt durch acht Punkte auf einem virtuellen oder realen Kreis. Die benachbarten Punkte haben zueinander stets den gleichen Abstand und sind mittels aneinandergereihten Strecken, auch Seiten oder Kanten genannt, verbunden.
konkaves Achteck (Bild 2), in dem mindestens ein Innenwinkel größer als 180° ist.
überschlagenes Achteck (Bild 2): Ein überschlagenes Achteck kann regelmäßig oder unregelmäßig sein.
Bild 4 Sehnenachteck
Bild 3 Regelmäßiges überschlagenes Achteck, Stern
Das regelmäßige überschlagene Achteck (Bild 3) ergibt sich, wenn beim Verbinden der acht Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen, wobei die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder -te Punkt verbunden wird.
Es gibt nur einen regelmäßigen Achtstrahlstern, auch Achterstern oder Oktogramm genannt.
Die „Sterne“ mit den Symbolen {8/2} und {8/6} sind Quadrate. Legt man diese zwei Quadrate mit ihren Achs- und Diagonallinien übereinander und dreht sie anschließend relativ zueinander um 45°, siehe die weißen Dreiecke im Stern, ergibt sich ein Achtort.
Sehnenachteck (Bild 4), in dem alle Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, aber die Seitenlängen möglicherweise ungleich sind.
Ein besonderes Sehnenachteck ist das sog. Putnam-Achteck, das 1978 in der William Lowell Putnam Competition, einem bedeutenden Mathematikwettbewerb in den USA, als Aufgabe präsentiert wurde.[1] Es besitzt vier aufeinanderfolgende Seiten der Längenmaßzahl 3 und weitere vier aufeinanderfolgende Seiten der Längenmaßzahl 2 (Bild 5). Seine Flächenmaßzahl beträgt nach Umordnung der Teildreiecke und Anwendung des Satzes des Pythagoras (Bild 6)
Zerlege das regelmäßige Achteck in 8 gleichschenklige Dreiecke. Der von deren Schenkeln eingeschlossene Winkel beträgt 360°/8= 45°. Die beiden Basiswinkel des Dreieckes betragen je 67,5°. Die Höhe halbiert das gleichschenklige Dreieck. Es entsteht durch Einzeichnen der Höhe ein rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln 67,5°, 22,5° und 90°. Folgende Lösungsansätze gehen von diesem rechtwinkligen Dreieck aus, dabei gilt:
Das gleichschenklige Dreieck hat die doppelte Fläche des rechtwinkligen Dreiecks, das Achteck die achtfache Fläche des gleichschenkligen Dreiecks:
Gegeben sei die Seitenlänge des Achtecks: Analog zur obigen Betrachtung lässt sich der Radius des Inkreises mit Hilfe des Tangens von 22,5° ermitteln, sei die Hälfte von :
Achteck, konstruiert aus einem Quadrat, Umkreisdurchmesser durch Diagonale vorgegeben
Konstruktion eines regelmäßigen Achtecks bei gegebenem Umkreis
Konstruieren kann man ein regelmäßiges Achteck, indem man bei einem Quadrat die Symmetrieachsen mithilfe der Mittelsenkrechten konstruiert und deren Schnittpunkte mit dem Umkreis, mit den Ecken des Quadrats verbindet.
Eine Alternative zeigt die nebenstehende Animation.
Bei gegebener Seitenlänge
Konstruktion eines regelmäßigen Achtecks bei gegebener Seitenlänge, siehe Animation.
Zuerst werden die beiden Endpunkte der Seitenlänge mit und bezeichnet. Beide sind Eckpunkte des entstehenden Achtecks. Es folgen ein Kreisbogen mit dem Radius um den Punkt und ein zweiter mit gleichem Radius um den Punkt , dabei ergeben sich die beiden Schnittpunkte und . Es geht weiter mit der Halbgeraden ab durch und dem Zeichnen einer Parallelen zu ab dem Punkt , die den Kreisbogen um in schneidet. Nun wird der Punkt mit verbunden, dabei entsteht der Schnittpunkt . Anschließend wird die Halbgerade ab durch gezogen, dabei schneidet sie die Halbgerade ab in . Somit ist der Mittelpunkt des entstehenden Achtecks bestimmt. Die zweite Halbgerade ab durch führt zum Zentriwinkel. Nach dem Einzeichnen des Umkreises um und durch ergeben sich die Ecken und des Achtecks. Jetzt die zwei noch fehlende Seitenlängen auf den Umkreis abtragen, sie ergeben die Ecken und , und abschließend die benachbarten Ecken zu einem fertigen Achteck miteinander verbinden.
Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag BerlinHeidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 160: Die Fläche eines Putnam-Achtecks (Problem B1, 39. William Lowell Putnam-Mathematik-Wettbewerb 1978)