Zyklische Gruppe
Gruppe, die aus einem einzigen Element erzeugt wird / aus Wikipedia, der freien encyclopedia
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In der Gruppentheorie ist eine zyklische Gruppe eine Gruppe, die von einem einzelnen Element erzeugt wird. Sie besteht nur aus Potenzen des Erzeugers
:
- :=\lbrace a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \rbrace .}
Eine Gruppe ist also zyklisch, wenn sie ein Element
enthält, sodass jedes Element von
eine Potenz von
ist. Gleichbedeutend damit ist, dass es ein Element
gibt, sodass
selbst die einzige Untergruppe von
ist, die
enthält. In diesem Fall wird
ein erzeugendes Element oder kurz ein Erzeuger von
genannt.
Zyklische Gruppen sind die einfachsten Gruppen und können vollständig klassifiziert werden: Für jede natürliche Zahl (für diese Aussage betrachten wir 0 nicht als natürliche Zahl) gibt es eine zyklische Gruppe
mit genau
Elementen, und es gibt die unendliche zyklische Gruppe, die additive Gruppe der ganzen Zahlen
. Jede andere zyklische Gruppe ist zu einer dieser Gruppen isomorph.