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gibt an, wie viele Teiler eine natürliche Zahl hat Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Die Teileranzahlfunktion gibt an, wie viele positive Teiler eine natürliche Zahl hat; dabei werden die Eins und die Zahl selbst mitgezählt. Die Teileranzahlfunktion gehört zum mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Sie wird meist mit oder bezeichnet – da sie einen Spezialfall der Teilerfunktion darstellt, auch als .
Rosa: hochzusammengesetzte Zahl | Faktorisierung von | |
---|---|---|
1 | 1 | 1 |
2 | 2 | 2 |
3 | 4 | 22 |
4 | 6 | 2 · 3 |
5 | 16 | 24 |
6 | 12 | 22 · 3 |
7 | 64 | 26 |
8 | 24 | 23 · 3 |
9 | 36 | 22 · 32 |
10 | 48 | 24 · 3 |
11 | 1.024 | 210 |
12 | 60 | 22 · 3 · 5 |
13 | 4.096 | 212 |
14 | 192 | 26 · 3 |
15 | 144 | 24 · 32 |
16 | 120 | 23 · 3 · 5 |
17 | 65.536 | 216 |
18 | 180 | 22 · 32 · 5 |
19 | 262.144 | 218 |
20 | 240 | 24 · 3 · 5 |
21 | 576 | 26 · 32 |
22 | 3.072 | 210 · 3 |
23 | 4.194.304 | 222 |
24 | 360 | 23 · 32 · 5 |
25 | 1.296 | 24 · 34 |
26 | 12.288 | 212 · 3 |
27 | 900 | 22 · 32 · 52 |
28 | 960 | 26 · 3 · 5 |
29 | 268.435.456 | 228 |
30 | 720 | 24 · 32 · 5 |
31 | 1.073.741.824 | 230 |
32 | 840 | 23 · 3 · 5 · 7 |
33 | 9.216 | 210 · 32 |
34 | 196.608 | 216 · 3 |
35 | 5.184 | 26 · 34 |
36 | 1.260 | 22 · 32 · 5 · 7 |
Für jede natürliche Zahl wird die Teileranzahlfunktion definiert als
wobei die Mächtigkeit der Menge ist.
Die ersten Werte sind:[1]
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Teiler von | 1 | 1, 2 | 1, 3 | 1, 2, 4 | 1, 5 | 1, 2, 3, 6 | 1, 7 | 1, 2, 4, 8 | 1, 3, 9 | 1, 2, 5, 10 | 1, 11 | 1, 2, 3, 4, 6, 12 |
1 | 2 | 2 | 3 | 2 | 4 | 2 | 4 | 3 | 4 | 2 | 6 |
Im Mittel ist , präziser gilt: [4]
Dabei sind „“ ein Landau-Symbol und die Euler-Mascheroni-Konstante.
Als Heuristik kann die Erkenntnis dienen, dass eine Zahl ein Teiler von etwa Zahlen ist, damit wird die Summe auf der linken Seite in etwa zu
(Zum letzten Schritt siehe harmonische Reihe.)
Der Wert für den Fehlerterm wurde bereits von P. G. L. Dirichlet bewiesen;[5] die Suche nach besseren Werten ist deshalb auch als dirichletsches Teilerproblem bekannt.
Bessere Werte wurden von G. F. Woronoi (1903, ),[6] J. van der Corput (1922, )[7] sowie M. N. Huxley ()[8] angegeben. Auf der anderen Seite zeigten G. H. Hardy und E. Landau, dass gelten muss.[9] Die möglichen Werte für sind immer noch Forschungsgegenstand.
Die Teilerfunktion ordnet jeder Zahl die Summe der -ten Potenzen ihrer Teiler zu:[10]
Die Teilersumme ist der Spezialfall der Teilerfunktion für , und die Teileranzahlfunktion ist der Spezialfall der Teilerfunktion für :
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