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Theorie dynamischer Systeme Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Die mathematische Stabilitätstheorie beschäftigt sich mit der Entwicklung von Störungen, die als Abweichung von bestimmten Zuständen dynamischer Systeme auftreten. Ein solcher Zustand kann etwa eine Ruhelage oder ein bestimmter Orbit sein, z. B. ein periodischer Orbit. Ein System ist instabil, wenn eine kleine Störung zu großen und aufklingenden Abweichungen führt.
Neben ihrer theoretischen Bedeutung wird die Stabilitätstheorie in der Physik und in der Theoretischen Biologie angewendet sowie in technischen Gebieten, z. B. in der Technischen Mechanik oder der Regelungstechnik.
Die Lösungsansätze für die Probleme der Stabilitätstheorie sind gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen.
Für die Charakterisierung der Stabilität der Ruhelage eines dynamischen Systems existieren mehrere Stabilitätsbegriffe mit jeweils etwas unterschiedlicher Aussage:
Für den Fall diskreter Systeme, die durch Differenzengleichungen beschrieben werden, ist die Ruhelage gleichzeitig Fixpunkt der Rekursionsgleichung und es sind ähnliche Stabilitätsdefinitionen üblich.
Bei zeitkontinuierlichen linearen zeitinvarianten Systemen kann die Stabilität an der Übertragungsfunktion durch die Lage der Pole in der s-Ebene (Nennerpolynom der Laplace Übertragungsfunktion) abgelesen werden:
Bei zeitdiskreten linearen zeitinvarianten Systemen kann die Stabilität durch die Lage der Pole in der z-Ebene (Nennerpolynom der z-Übertragungsfunktion) abgelesen werden.
Achtung: der Begriff grenzstabil führt leicht zu Missverständnissen, da die Polstellenlage tatsächlich nach den meisten Stabilitätsdefinitionen instabile Systeme kennzeichnet.
Ljapunow entwickelte 1883 die sogenannte Direkte oder Zweite Methode (die Erste Methode war die Linearisierung, siehe unten), um die oben genannten Stabilitätseigenschaften an konkreten Systemen zu überprüfen. Hierzu definiert man zunächst zu einem dynamischen System der Form und einer reellwertigen differenzierbaren Funktion die orbitale Ableitung durch das Skalarprodukt
Eine reellwertige differenzierbare Funktion heißt Ljapunow-Funktion (für das Vektorfeld ), wenn für alle Punkte aus dem Phasenraum gilt. Eine Ljapunow-Funktion ist ein ziemlich starkes Hilfsmittel für einen Stabilitätsbeweis, wie die folgenden beiden Kriterien zeigen:
Die Verwendung einer Ljapunow-Funktion nennt man Direkte Methode, weil sich damit direkt aus dem Vektorfeld ohne Kenntnis der Trajektorien (also ohne, dass man die Differentialgleichung lösen müsste) Aussagen über die Stabilität einer Ruhelage gewinnen lassen.
Für den Fall linearer Systeme kann zum Beispiel immer eine positiv definite quadratische Form als Ljapunow-Funktion Verwendung finden. Sie erfüllt offensichtlich die obigen Bedingungen (1) und (2). Bedingung (3) führt auf die Ljapunow-Gleichung
,
welche eine spezielle Form der Sylvester-Gleichung ist. Falls positiv definit ist, so ist eine Ljapunow-Funktion. Für stabile lineare Systeme lässt sich eine solche Funktion immer finden.
Ein dynamisches System sei gegeben durch die Differentialgleichung .
Wir betrachten eine Störung zum Zeitpunkt als Abweichung von der Ruhelage :
In beiden Fällen ergibt sich für die Zeitentwicklung von :
Diese Entwicklung wird demnach maßgeblich von den Eigenwerten der Jacobi-Matrix bestimmt. Konkret ergeben sich die folgenden drei Fälle:
Siehe auch Autonome Differentialgleichung.
Im Bauwesen müssen druckbeanspruchte Stäbe auf Stabilitätsgefährdung (i. d. R. Knicken) geprüft werden und gegebenenfalls nach Theorie II. Ordnung nachgewiesen werden. Man braucht die Theorie II. Ordnung um Stabilitätsgefährdung beschreiben zu können. Im Stahlbau, im (Stahl-)Betonbau als auch im Holzbau sind laut aktueller Normung stabilitätsgefährdete Stäbe auf Knicken nachzuweisen.
Ein untersuchter Verformungszustand der Festigkeitslehre oder ein Bewegungszustand der Dynamik können ab einer zu bestimmenden Stabilitätsgrenze in einen anderen Zustand wechseln. Damit verbunden sind in der Regel nichtlinear ansteigende Verformungen oder Bewegungen, die zur Zerstörung von Tragwerken führen können. Um diese zu vermeiden, ist die Kenntnis der Stabilitätsgrenze ein wichtiges Kriterium zur Bemessung von Bauteilen.
Weitere Beispiele:
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