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Verallgemeinerung eines Körpers mit Dreiecksoberflächen auf beliebige Dimensionen Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Als Simplex (neutr.) oder n-Simplex, gelegentlich auch n-dimensionales Hypertetraeder, bezeichnet man in der Geometrie ein spezielles n-dimensionales Polytop.
Dabei ist ein Simplex die einfachste Form eines Polytops. Jedes -dimensionale Simplex besitzt Ecken. Man erzeugt ein -Simplex aus einem -Simplex, indem man einen affin unabhängigen Punkt (s. u.) hinzunimmt und alle Ecken des niedrigerdimensionalen Simplex mit diesem Punkt in Form einer Kegelbildung durch Strecken verbindet.[1] Somit ergibt sich mit zunehmender Dimension die Reihe Punkt, Strecke, Dreieck, Tetraeder. Ein -Simplex ist die Fortsetzung dieser Reihe auf Dimensionen.
Sei und seien endlich viele Punkte eines -Vektorraums . Man nennt diese Punkte affin unabhängig,[2] falls für alle Skalare gilt, dass aus mit folgt, dass .
Anders ausgedrückt, es gibt keinen -dimensionalen affinen Unterraum , in dem die Punkte liegen. Eine äquivalente Formulierung ist: Die Menge ist linear unabhängig.[3] In diesem Falle ist jeder der Punkte () von den übrigen Punkten affin unabhängig und genauso von dem durch aufgespannten affinen Unterraum.
Eine Menge von Punkten eines -dimensionalen Vektorraums über () nennt man in allgemeiner Lage, wenn jede aus höchstens Punkten bestehende Teilmenge affin unabhängig ist.[2]
Sei und seien affin unabhängige Punkte des (oder eines n-dimensionalen Vektorraums über ) gegeben, so ist das von aufgespannte (oder erzeugte) Simplex gleich folgender Menge:
Die Punkte werden Eckpunkte von und baryzentrische Koordinaten genannt. Die Zahl ist die Dimension des Simplexes. Ein Simplex der Dimension wird auch kurz -Simplex genannt. Ein Simplex ist also nichts weiter als die konvexe Hülle von endlich vielen affin unabhängigen Punkten im ,[5] welche dann die Eckpunkte dieses Simplexes sind.
Es sei ein Simplex. Jedes in enthaltene Simplex, welches durch eine nicht leere Teilmenge der Eckpunkte von aufgespannt wird, heißt Seite (seltener Facette oder Untersimplex) von . Die nulldimensionalen Seiten (Facetten) sind gerade die Eckpunkte oder Ecken, die 1-Seiten (oder 1-Facetten) sind die Kanten und die -Seiten oder -Facetten heißen Seitenflächen. Die Vereinigung der Seitenflächen heißt der Rand des Simplexes :
Die Anzahl der -Seiten (oder -Facetten) des -Simplex ist gleich dem Binomialkoeffizienten .[6]
Das -Simplex ist das einfachste -dimensionale Polytop, gemessen an der Anzahl der Ecken. Nach dem Simplex ist das Simplex-Verfahren aus der linearen Optimierung und genauso das Downhill-Simplex-Verfahren in der nichtlinearen Optimierung benannt.
Das Volumen des Einheitssimplex des beträgt . Sind Punkte des , so lautet die affine Abbildung, die das Einheitssimplex auf das von aufgespannte Simplex transformiert
und das Volumen des Simplex ist gegeben durch .
In der algebraischen Topologie, insbesondere der Definition der singulären Homologie, spielen die sogenannten Standard-Simplizes eine wichtige Rolle.
Das -dimensionale Standardsimplex ist das im von den Einheitsvektoren , also von den Ecken
aufgespannte -Simplex.[7] Das -Standardsimplex entspricht damit der größten Seitenfläche eines -Einheitssimplex.
Ein singuläres -Simplex ist per Definition eine stetige Abbildung des Standard-Simplex in einen topologischen Raum , siehe singuläre Homologie.
Eine rechtwinklige Ecke bedeutet hier, dass je zwei in dieser Ecke zusammenlaufende Kanten einen rechten Winkel bilden. Anders ausgedrückt, das -Simplex hat eine Ecke, an der seine an ihr anliegenden -dimensionalen Hyperflächen zueinander orthogonal sind. Ein solches Simplex stellt eine Verallgemeinerung rechtwinkliger Dreiecke dar und in ihm gilt eine -dimensionale Version des Satzes von Pythagoras wie folgt.[8]
Die Summe der quadrierten -dimensionalen Volumen der an der rechtwinkligen Ecke anliegenden Hyperflächen ist gleich dem quadrierten -dimensionalen Volumen der der rechtwinkligen Ecke gegenüberliegenden Hyperfläche. Es gilt also:
Hierbei sind die Hyperflächen paarweise orthogonal zueinander, aber nicht orthogonal zu der Hyperfläche , die der rechtwinkligen Ecke gegenüberliegt.
Im Falle eines 2-Simplex entspricht dies einem rechtwinkligen Dreieck und dem Satz des Pythagoras und im Falle eines 3-Simplex einem Tetraeder mit einer Würfelecke und dem Satz von de Gua.
Ein euklidischer simplizialer Komplex (engl. Euclidean simplicial complex[11]), in der deutschen Literatur meist simplizialer Komplex genannt,[12][13] ist eine Familie von Simplizes im mit folgenden Eigenschaften:
Die Vereinigung , gebildet über alle Simplizes von und versehen mit der vom herrührenden Unterraumtopologie, heißt das zu gehörige Polyeder. Die zugehörige Familie nennt man dann auch eine Triangulation oder simpliziale Zerlegung[15] von . Falls ein solches existiert, heißt triangulierbar.[16]
Ein Polyeder, welches durch einen endlichen simplizialen Komplex trianguliert wird, ist stets eine kompakte Teilmenge des .[17]
Ein abstrakter simplizialer Komplex (engl. abstract simplicial complex[18]) ist eine Familie von nichtleeren, endlichen Mengen (welche (abstrakte) Simplizes genannt werden), die folgende Eigenschaft erfüllt:[19]
Jedes Element eines Simplex heißt Ecke und jede nichtleere Teilmenge heißt Seite (oder Facette). Die Dimension eines (abstrakten) Simplex mit Ecken ist definiert als . Die Dimension eines Simplizialkomplexes ist definiert als das Maximum der Dimensionen aller darin vorkommenden Simplizes, sofern dieses Maximum existiert. In diesem Falle bezeichnet man den Simplizialkomplex als endlichdimensional und besagtes Maximum als seine Dimension. Falls die Dimensionen der Simplizes des Simplizialkomplexes nicht nach oben beschränkt sind, so heißt der Simplizialkomplex unendlichdimensional.
Eine Anwendung findet sich im Downhill-Simplex-Verfahren. Das ist ein Optimierungsverfahren, bei dem man Parameterwerte finden will, indem man sie so lange variiert, bis die Abweichung zwischen Messwerten und einer Theoriefunktion, die von diesen Parametern abhängt, minimal wird. Dazu wird im -dimensionalen Parameterraum ein Simplex aus Parametersätzen aufgespannt, für jeden Punkt des Simplex die Fehlerfunktion berechnet und dann im Laufe des Algorithmus der jeweils „schlechteste“ dieser Punkte durch einen (hoffentlich) „besseren“ (mit kleinerem Fehlerwert) ersetzt, so lange, bis ein Konvergenz- oder sonstiges Abbruchkriterium erfüllt ist. Als Anfangskonfiguration wird meistens ein Simplex mit einer rechtwinkligen Ecke (wie oben erläutert) verwendet.
Simplexe, simpliziale Komplexe und Polyeder finden darüber hinaus eine breite Anwendung in der Topologie. Als eines der herausragenden Anwendungsbeispiele ist hier der Fixpunktsatz von Brouwer zu nennen, von dem Bronisław Knaster, Kazimierz Kuratowski und Stefan Mazurkiewicz im Jahre 1929 gezeigt haben, dass dieser Satz und verwandte Sätze der Topologie im Rahmen der Simplextheorie mit elementaren kombinatorischen Methoden, insbesondere unter Benutzung des Spernerschen Lemmas, ableitbar sind.[21][22]
Artikel
Monographien
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