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Gerät zur Stabilisierung eines technischen Systems für einen vorgegebenen Sollwert Aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Der in einem Regelkreis eingebundene Regler wirkt so auf eine Regelstrecke ein, dass sich eine zu regelnde Größe, die Regelgröße, mit Hilfe einer negativen Rückführung unabhängig von Störeinflüssen auf das Niveau der gewählten Führungsgröße einstellt.
In unserer Umwelt vorkommende zeitabhängige Prozesse können näherungsweise mit dem mathematischen Modell eines dynamischen Systems abgebildet werden. Diesbezügliche Modelle haben mindestens einen Signaleingang und einen Signalausgang und werden mathematisch über Laplace-transformierte Differentialgleichungen als Übertragungsfunktionen G(s) definiert. Dies gilt sowohl für die Regler als auch für die Regelstrecken und die Regelkreise.
Bekannte Effekte des Regler-Verhaltens sind verstärkende (P-), integrierende (I-) und differenzierende (D-) Eigenschaften. Diese Regler in Kombination der dargestellten Varianten des Zeitverhaltens werden als P-, I-, PI-, PD-, PID-Regler bezeichnet. Es existieren aber noch viele andere spezielle Reglerausführungen.
Beispiel eines idealen PID-Reglers in der Summendarstellung der Parameter:
Bei unstetigen Reglern ist die Ausgangsgröße gestuft. Darunter fallen die Zweipunktregler, Mehrpunktregler und Fuzzy-Regler. Optimal angepasste unstetige Regler können ein besseres dynamisches Verhalten der Regelgröße erzielen als die Standardregler.
Siehe auch Hauptartikel Regelungstechnik, Artikel Regelkreis, Artikel Regelstrecke.
Die Geschichte der Regelungstechnik bzw. die Beschäftigung des Menschen mit der Regelungstechnik begann zwischen dem 3. Jahrhundert v. Chr. und dem 1. Jahrhundert n. Chr. im antiken Griechenland. Das einer Regelung zugrunde liegende Rückkopplungsprinzip ist keine Erfindung des Menschen, sondern ein seit je stattfindendes Naturphänomen. Die moderne Regelungstechnik begann zur Zeit der industriellen Revolution unter Verwendung mechanischer Bauteile. Ihr größter Fortschritt wurde durch die Entwicklung der Elektronik und schließlich durch die elektronische Rechentechnik ermöglicht.
In Bezug zur technischen Gestaltung und der zugehörigen mathematischen Werkzeuge der Regler sind folgende Ereignisse zu nennen:
Allgemein werden die Regler nach stetigem und unstetigem Verhalten unterschieden. Zu den bekanntesten stetigen Reglern gehören die „Standardregler“ mit P-, PI-, PD- und PID-Verhalten. Ferner gibt es unter den stetigen Reglern verschiedene Sonderformen mit angepasstem Verhalten, um schwierige Regelstrecken regeln zu können. Dazu gehören beispielsweise Regelstrecken mit Totzeiten, mit nichtlinearem Verhalten, mit Drift der Streckenparameter und bekannten und unbekannten Störgrößen.
Bei unstetigen Reglern ist die Ausgangsgröße gestuft. Darunter fallen die Zweipunktregler, Mehrpunktregler und Fuzzy-Regler. Optimal angepasste unstetige Regler können ein besseres dynamisches Verhalten der Regelgröße erzielen als die Standardregler.
Für komplexere Regeleinrichtungen mit nichtlinearen Regelstrecken oder mehrere miteinander verknüpfte Regelgrößen und Stellgrößen sind besonders angepasste Regler – meist digitale Regler – erforderlich. Hierbei kommen vermaschte Regelungen, Mehrgrößenregelungen, Regelungen im Zustandsraum, modellbasierte Regelungen usw. zum Einsatz.
Stetige Regler mit analogem oder digitalem Verhalten können für lineare Regelstrecken verwendet werden. Digitale Regler haben den Vorteil einer universellen Anpassung an die unterschiedlichsten Regelaufgaben, jedoch verlangsamen sie den Regelprozess durch die Abtastzeit der Regelgröße und Rechenzeit im Einsatz bei schnellen Regelstrecken.
Viele nicht stabile Regelstrecken, die zum Beispiel durch positive Rückkopplungseffekte (Mitkopplung) entstehen können, sind ebenfalls mit klassischen linearen Reglern beherrschbar.
Der Entwurf der Regler ist in dem Artikel „Regelkreis“ dargestellt. Siehe auch Artikel „Regelstrecke“ und „Regelungstechnik“.
Die Übertragungsfunktion ist die häufigste mathematische Beschreibung des Verhaltens linearer Regelkreisglieder und damit die Beschreibung der Regler. Sie entsteht durch die Laplace-Transformation der systembeschreibenden linearen gewöhnlichen Differentialgleichung und ist eine mathematische Beschreibung des Eingangs- und Ausgangsverhaltens eines linearen, zeitinvarianten Übertragungssystems im Frequenzbereich (s-Bereich) mit der komplexen Variable .
Die unabhängige Variable ist ein Symbol für eine vollzogene Laplace-Transformation eines Differentialquotienten. Die Variable – mit einem Exponenten für den Grad der Ableitungen – in verschiedenen Darstellungsarten der Übertragungsfunktion kann beliebig algebraisch behandelt werden, enthält aber keinen Zahlenwert.
Durch die Nullstellenbestimmung lässt sich die Übertragungsfunktion der Polynomdarstellung im Zähler und Nenner in elementare Produkte aufspalten, die als Linearfaktoren bezeichnet werden. Je nach Größe der Zahlenwerte einer Übertragungsfunktion in Polynomdarstellung können die Nullstellen der Polynomzerlegung als Null, als eine reelle Zahl oder als eine konjugiert komplexe Zahl auftreten.
Der Frequenzgang [früher auch ] beschreibt das Verhalten eines linearen zeitinvarianten Übertragungssystems für sinusförmige Ein- und Ausgangssignale.
Die Übertragungsfunktion ist im Gegensatz zum Frequenzgang keine messbare Größe. Die Entstehungsweisen beider Beschreibungsfunktionen und auch deren Anwendung sind unterschiedlich, jedoch kann jederzeit die Übertragungsfunktion bei gleichen Koeffizienten in den Frequenzgang und umgekehrt der Frequenzgang in die Übertragungsfunktion überführt werden, indem der Realteil der komplexen Variablen Null gesetzt wird.
Die Anwendung der Übertragungsfunktion als gebrochen-rationale Funktion ist algebraisch und damit eine große Vereinfachung des mathematischen Aufwandes, lineare Übertragungssysteme zu beurteilen und zu berechnen. So können bei Kenntnis der Übertragungsfunktionen der Regelstrecke durch den Regler Anteile der Strecke mit gleichen Zeitkonstanten kompensiert werden. Dies bedeutet, Linearfaktoren mit Nullstellen des Reglers kompensieren Linearfaktoren mit Polstellen der Strecke um die Ordnung des offenen Regelkreises zu reduzieren. Dies ist sowohl algebraisch als auch durch Betrachtung im Bodediagramm verständlich. Die Auslegung des Regelkreises vereinfacht sich auf diese Weise.
Üblich sind folgende zwei Darstellungsformen der Übertragungsfunktion in der Produktdarstellung:
In der linearen Regelungstechnik und Systemtheorie ist es eine willkommene Tatsache, dass praktisch alle vorkommenden regulären (stabilen) Übertragungsfunktionen bzw. Frequenzgänge von Regelkreisgliedern auf drei Grundformen geschrieben bzw. zurückgeführt werden können. Die Linearfaktoren haben eine völlig unterschiedliche Bedeutung, je nachdem ob sie im Zähler oder im Nenner einer Übertragungsfunktion stehen.
Stehen die Linearfaktoren im Zähler, haben sie eine differenzierende Wirkung, stehen sie im Nenner, haben sie eine verzögernde (speichernde) Wirkung:
Typ Linearfaktor | Bedeutung im Zähler | Bedeutung im Nenner |
---|---|---|
Nullstelle „Absolutglied fehlt“ | Differenzierer, D-Glied | Integrator, I-Glied |
Nullstelle „reelle Zahl“ | PD1-Glied | Verzögerung, PT1-Glied |
PD2-Glied: für 0 < D < 1 mit konjugiert komplexen Nullstellen | Schwingungsglied PT2-Glied: für 0 < D < 1 mit konjugiert komplexen Polen |
Übertragungssysteme können definiert werden als:
Die linearen Standard-Regler wie:
lassen sich bereits mit den ersten beiden Grundformen und der Übertragungsfunktionen laut Tabelle in faktorieller Darstellung beschreiben.
Der P-Regler besteht ausschließlich aus einem proportionalen Anteil der Verstärkung Kp. Mit seinem Ausgangssignal u ist er proportional dem Eingangssignal e.
Das Übergangsverhalten lautet:
Die Übertragungsfunktion lautet:
Das Diagramm zeigt das Ergebnis einer Sprungantwort. Der P-Regler hat eine gewählte Verstärkung von Kp.
Eigenschaften des P-Reglers:
Ein I-Regler (integrierender Regler, I-Glied) wirkt durch zeitliche Integration der Regelabweichung e(t) auf die Stellgröße mit der Gewichtung durch die Nachstellzeit .
Die Integralgleichung lautet:
Die Übertragungsfunktion lautet:
Eine konstante Regeldifferenz e(t) führt von einem Anfangswert des Ausgangs u1(t) zum linearen Anstieg des Ausgangs u2(t) bis zu seiner Begrenzung. Die Nachstellzeit TN bestimmt den Gradienten des Anstiegs.
Die Nachstellzeit zum Beispiel TN = 2 s bedeutet, dass zur Zeit t = 0 der Ausgangswert u(t) nach 2 s die Größe des konstanten Eingangswertes e(t) erreicht hat.
Das Diagramm zeigt das Ergebnis der Sprungantwort des I-Gliedes. Die Zeitkonstante beträgt TI = 1 s. Der Eingangssprung hat die Größe
e(t) = 1.
Zusammenfassung der Eigenschaften des I-Reglers:
Das D-Glied ist ein Differenzierer, der nur in Verbindung zu Reglern mit P- und/oder I-Verhalten als Regler eingesetzt wird. Er reagiert nicht auf die Höhe der Regelabweichung , sondern nur auf deren Änderungsgeschwindigkeit.
Differentialgleichung:
Übertragungsfunktion:
„Vorhaltzeit“ (Begriff laut DIN 19226 Teil 2) wird umgangssprachlich fälschlicherweise oft als „Vorhaltezeit“ bezeichnet.
Die Sprungantwort des idealen D-Gliedes, wie im zugehörigen Diagramm gezeigt, ist eine Stoßfunktion mit theoretisch unendlicher Größe. Der Eingangssprung ist als Testsignal nicht geeignet.
Ein brauchbares Testsignal für das D-Glied ist die Anstiegsfunktion:
Nach der Laplace-Transformation wird
Die Anstiegsfunktion wird in der Übertragungsfunktion des D-Gliedes eingesetzt. Damit wird die Ausgangsgröße des D-Gliedes:
und nach der Rücktransformation wird die Ausgangsgröße:
mit TV = KD
Daraus ist ersichtlich, dass eine Anstiegsfunktion ein konstantes Ausgangssignal am D-Glied hervorruft. Die Größe des Ausgangssignals ist von dem Produkt Anstiegskonstante und Differenzierbeiwert abhängig.
Das bisher betrachtete Verhalten gilt für den idealen Differenzierer. Allgemein gilt ein System, dessen Übertragungsfunktion im Zähler eine höhere Ordnung als im Nenner aufweist, als technisch nicht realisierbar. Es ist nicht möglich, bei einem System mit Nullstellenüberschuss für ein beliebig schnelles Eingangssignal, z. B. für einen Eingangssprung e(t), ein Ausgangssignal u(t) mit unendlich großer Amplitude zu realisieren.
Durch die Umsetzung der Übertragungsfunktion eines idealen Reglers mit D-Anteil in eine Hardware entsteht automatisch eine Verzögerung. Deshalb wird der Übertragungsfunktion des idealen Differenzierers eine kleine Verzögerung (PT1-Glied) zugefügt, deren Zeitkonstante TP – auch parasitäre Zeitkonstante genannt – wesentlich kleiner sein muss als die Zeitkonstante TV.
Die Übertragungsfunktion des realen D-Gliedes lautet damit:
Eine Sprungantwort des realen D-Gliedes verläuft mit begrenzter Größe des Stoßes asymptotisch nach Null.
Bei der Realisierung des realen D-Gliedes, PD- oder PID-Reglers durch analoge Technik mittels Operationsverstärker ergibt sich unvermeidbar durch Begrenzung der gegengekoppelten Ströme die Verzögerung mit der sogenannten parasitären Zeitkonstante TP, weil der Verstärker innerhalb seines Arbeitsbereichs bleiben muss (siehe PID-Regler).
Zusammenfassung der Eigenschaften des D-Gliedes:
Siehe auch Bode-Diagramm und Ortskurve des Frequenzgangs unter D-Glied!
Der PD-Regler (proportional-derivative controller) besteht aus der Kombination eines P-Gliedes KP mit einem D-Glied. Er kann als Parallelstruktur oder als Reihenstruktur definiert werden.
Die Differentialgleichung der Parallelstruktur lautet:
Die Übertragungsfunktion der Parallelstruktur kann direkt in die Reihenstruktur überführt werden und lautet für den idealen Regler:
Wie beim D-Glied gilt auch hier ein System, dessen Übertragungsfunktion im Zähler eine höhere Ordnung als im Nenner aufweist, als technisch nicht realisierbar. Es ist nicht möglich, bei einem System mit Nullstellenüberschuss für ein beliebig schnelles Eingangssignal, z. B. für einen Eingangssprung e(t), ein Ausgangssignal u(t) mit unendlich großer Amplitude zu realisieren.
Deshalb wird der Übertragungsfunktion des idealen Differenzierers eine kleine ungewollte, aber notwendige „parasitäre“ Verzögerung (PT1-Glied) zugefügt, deren Zeitkonstante TP wesentlich kleiner sein muss als die Zeitkonstante TV.
Die Übertragungsfunktion des realen PD-Reglers lautet damit:
Die Sprungantwort ist wie beim D-Glied eine Stoßfunktion, die beim PD-Regler dem P-Anteil überlagert ist. Deshalb ist die Anstiegsfunktion für den PD-Regler das geeignete Testsignal.
Für die Anstiegsfunktion definiert sich die Vorhaltzeit TV als die Zeit, bei der ein reiner P-Regler vor Beginn der Anstiegsfunktion beginnen müsste, um auf den Wert zu kommen, den das D-Glied bewirkt.
Der PD-Regler ist ein sehr schneller Regler, denn er fügt im Gegensatz zum PI-Regler keinen zusätzlichen Pol durch Integration in den offenen Regelkreis ein. Selbstverständlich ist auch die unvermeidbare parasitäre Verzögerung mit kleiner Zeitkonstante im Regelkreis nicht vernachlässigbar.
Zusammenfassung der Eigenschaften des PD-Reglers:
PD2-Glieder mit konjugiert komplexen Nullstellen können Schwingungsglieder (PT2-Glieder) mit konjugiert komplexen Polen vollständig kompensieren, wenn die Größe der Zeitkonstanten beider Systeme identisch ist.
PD2kk-Glieder mit konjugiert komplexen Nullstellen erhält man, indem von der Übertragungsfunktion eines PD2-Gliedes in Polynom-Darstellung der mittlere Term der Übertragungsfunktion durch ein bestimmtes D-Glied subtrahiert wird. Mit dieser Maßnahme entsteht ein System mit konjugiert komplexen Nullstellen.
Die Übertragungsfunktion eines PD2-Gliedes mit gleichen Zeitkonstanten lautet:
Die Übertragungsfunktion eines D-Gliedes lautet:
PD2-Glied mit konjugiert komplexen Nullstellen durch Subtraktion mit D-Glied:
Diese Übertragungsfunktion kann per Hardware oder Software realisiert werden.
Wenn Zahlenwerte der PD2kk-Übertragungsfunktion vorliegen, gilt die Normalform mit den Beiwerten a und b:
Daraus ergeben sich die Parameter einer PD2-Übertragungsfunktion mit konjugiert komplexen Nullstellen:
Bezeichnet man bei diesem Zählerpolynom analog zum Nennerpolynom (PT2KK-Schwingungsglied) mit D den Dämpfungsgrad:
Bei D ≥ 1 ergeben sich reale Nullstellen anstelle der konjugiert komplexen Nullstellen.
Der PI-Regler (proportional–integral controller) besteht aus den Anteilen des P-Gliedes KP und I-Gliedes mit der Zeitkonstante TN. Er kann sowohl aus einer Parallelstruktur oder aus einer Reihenstruktur definiert werden. Der Begriff der Nachstellzeit TN stammt aus der Parallelstruktur des Reglers.
Integralgleichung des PI-Reglers in der Parallelstruktur:
Übertragungsfunktion der Parallelstruktur:
Wird der Klammerausdruck der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, entsteht die Produktdarstellung in der Reihenstruktur:
KPI = KP / TN ist die Verstärkung des PI-Reglers
Aus dieser Produktdarstellung der Übertragungsfunktion ist ersichtlich, dass zwei Regelsysteme als Einzelsysteme zu einer Reihenstruktur geworden sind. Es handelt sich hierbei um ein PD-Glied und um ein I-Glied mit der Verstärkung KPI, welche sich aus den Beiwerten KP und TN errechnen.
Signaltechnisch wirkt der PI-Regler gegenüber dem I-Regler so, dass nach einem Eingangssprung dessen Wirkung um die Nachstellzeit TN vorverlegt ist. Durch den I-Anteil wird die stationäre Genauigkeit gewährleistet, die Regelabweichung wird nach dem Einschwingen der Regelgröße zu Null.
Zusammenfassung der Eigenschaften des PI-Reglers:
Der PID-Regler (proportional-integral-derivative controller) besteht aus den Anteilen des P-Gliedes, des I-Gliedes und des D-Gliedes. Er kann sowohl aus der Parallelstruktur oder der Reihenstruktur definiert werden.
In dem Blockdiagramm sind die Reihenstruktur (Produktdarstellung) und die Parallelstruktur (Summendarstellung) der Übertragungsfunktionen des realen PID-Reglers dargestellt. Die Begriffe idealer und realer PID-Regler kennzeichnen, ob die durch den D-Anteil notwendige unvermeidliche Verzögerung (PT1-Glied) berücksichtigt ist.
Die Begriffe der P-Verstärkung KP, Vorhaltzeit TV und der Nachstellzeit TN entstammen der parallelen Reglerstruktur. Sie haben einen hohen Bekanntheitsgrad in der Anwendung empirischer Regler-Einstellungen bei Regelkreisen mit unbekannten Regelstrecken und geringen dynamischen Anforderungen.
Beide Darstellungsformen der parallel- und reihenstrukturierten PID-Regler, die sich mathematisch völlig identisch umrechnen lassen, haben unterschiedliche Vorteile in der Anwendung:
Differenzialgleichung des idealen PID-Reglers in Parallelstruktur:
Übertragungsfunktion des idealen PID-Reglers in Parallelstruktur (Summendarstellung):
Wird der Klammerausdruck der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, entsteht die Polynomdarstellung der Parallelstruktur des PID-Reglers.
Übertragungsfunktion des idealen PID-Reglers der Parallelstruktur in Polynomdarstellung:
Das Zählerpolynom kann durch die Bestimmung der Nullstellen aufgelöst werden. Damit lautet die Übertragungsfunktion des idealen PID-Reglers in Reihenstruktur als Produktdarstellung:
mit der Reglerverstärkung
Wie beim D-Glied und PD-Regler gilt auch hier ein System, dessen Übertragungsfunktion im Zähler eine höhere Ordnung als im Nenner aufweist, als technisch nicht realisierbar. Es ist nicht möglich, bei einem System mit Nullstellenüberschuss für ein beliebig schnelles Eingangssignal, z. B. für einen Eingangssprung e(t), ein Ausgangssignal u(t) mit unendlich großer Amplitude zu realisieren.
Wird ein PID-Regler durch Beschaltung eines Operationsverstärkers realisiert, so muss für den D-Anteil und die damit verwendete Kapazität ein Widerstand den Strom im Summenpunkt begrenzen, damit der Verstärker innerhalb seines Arbeitsbereichs bleibt. Damit entsteht ungewollt aber unvermeidbar eine zusätzliche Verzögerung als PT1-Glied, dessen Zeitkonstante gegenüber der Zeitkonstante TV wesentlich kleiner sein muss. Dieses Verzögerungsglied wird auch als parasitäre Verzögerung mit der Zeitkonstante TP bezeichnet.
Die Parameter des idealen und des realen PID-Reglers können zwischen den parallelen und reihenförmigen Strukturen beliebig umgerechnet werden. Die Umrechnung des realen PID-Reglers bezieht sich auf die gleiche Zeitkonstante TP in beiden Reglerstrukturen. Die Umrechnungsgleichungen entstehen durch Ausmultiplizieren beider Übertragungsfunktionen und Vergleich der Koeffizienten an den Laplace-Operatoren s und s².
Empfehlung des PID-Reglerentwurfs mit Reduzierung des Wind-up-Effekts:
Die mathematische Beschreibung der beiden Strukturen des idealen und realen Reglers ist in der nachfolgenden Tabelle dargestellt.
PID-Regler | Übertragungsfunktion, Parameter | Bemerkung |
---|---|---|
Idealer PID-Regler Reihenstruktur | Empfohlener Reglerentwurf: Pol-Nullstellen-Kompensation | |
Idealer PID-Regler Parallelstruktur | PID-Parallelstruktur, gemeinsamer Nenner. Polynom für Faktorisierung. | |
Idealer PID-Regler Umrechnung Reihenstruktur in Parallelstruktur | Reglerparameter aus Zeit- konstanten berechnen. | |
Idealer PID-Regler Umrechnung Parallelstruktur in Reihenstruktur | Modifizierte pq-Formel zur Berechnung der Zeitkonstanten | wenn , dann Polynom konjugiert komplex |
Realer PID-Regler Reihenstruktur mit parasitärer Zeitkonstante | Parasitäre Zeitkonstante: der kleineren Zeitkonst. | |
Realer PID-Regler Parallelstruktur mit parasitärer Zeitkonstante | Parasitäre Zeitkonstante: der kleineren Zeitkonst. | |
Realer PID-Regler Umrechnung Reihenstruktur in Parallelstruktur | Umrechnung gilt für die gleiche Zeitkonstante Tp in Reihen und Parallelstruktur |
Das grafische Beispiel der Sprungantwort eines Regelkreises mit PID-Regler-Parametrierung und Pol-Nullstellen-Kompensation zeigt (in der Bildvergrößerung) die unterschiedlichen Übertragungsfunktionen der Regler in der Reihen- und Parallelstruktur mit identischen Eigenschaften. Das parasitäre Zeitglied des realen Reglers, zum Unterschied zum idealen PID-Regler, verursacht im Regelkreis größere Überschwingungen und damit eine schlechtere Dämpfung der Regelgröße y(t).
Zusammenfassung der Eigenschaften des PID-Reglers:
Der Zustandsregler ist kein eigenständiger Regler, sondern er entspricht der mit Faktoren bewerteten Rückführung der Zustandsgrößen eines mathematischen Modells der Regelstrecke im Zustandsraum.
Das Grundprinzip des Zustandsreglers (auch statische Zustandsrückführung genannt) ist die Rückführung der bewerteten inneren Systemgrößen eines Übertragungssystems zu einem Regelkreis. Die einzelnen Zustandsgrößen werden mit Faktoren bewertet und wirken subtraktiv auf die Führungsgröße w(t).
Damit durchlaufen Anteile der Zustandsgrößen ein zweites Mal die Integrationskette der Rechenschaltung laut Signalflussplan der Regelungsnormalform. Das Ergebnis ist ein Zustandsregler mit PD-Verhalten im Zustandsregelkreis.
Im Gegensatz zu einem Standardregelkreis wird die Ausgangsgröße y(t) des Zustandsregelkreises nicht auf den Eingang der Regelstrecke zurückgeführt. Der Grund liegt darin, dass die Ausgangsgröße y(t) eine Funktion der Zustandsgrößen ist. Dennoch kann ein nicht akzeptabler proportionaler Fehler zwischen den Werten der Führungsgröße w(t) und der Regelgröße y(t) entstehen, der durch ein Vorfilter V beseitigt werden muss.
Eine Alternative zur Vermeidung einer Regelabweichung bietet ein überlagerter Regelkreis des Zustandsregelkreises mit einem PI-Regler mit Rückführung der Regelgröße y(t), der das Vorfilter V überflüssig macht.
Siehe detaillierte Begriffsklärung unter Regelstrecke im Zustandsraum.
Indizierung:
Die Regler-Zustandsrückführung (zur Unterscheidung der Rückführung der Zustandsgrößen) bezieht sich auf den Zustandsvektor , der mittels Vektorverstärkung laut dem Signalflussplan des Modells des Zustandsregelkreises auf die Eingangsgröße zurückgeführt wird:
Der lineare Zustandsregler bewertet die einzelnen Zustandsvariablen der Regelstrecke mit Faktoren und summiert die so entstandenen Zustandsprodukte zu einem Sollwert-Istwert-Vergleich.[2]
Die mit dem Regler zurückgeführten bewerteten Zustandsgrößen durchlaufen noch einmal das Zustandsraum-Modell der Strecke und bilden neue Kreis-Zustandsgrößen, wodurch differenzierendes Verhalten entsteht. Deshalb entspricht die Wirkung der zurückgeführten Zustandsgrößen je nach Höhe der Ordnung n der Differenzialgleichung der Strecke der eines -Reglers.[3]
Die nachfolgenden einfachen algebraischen Gleichungen beziehen sich auf die Zustandsdifferentialgleichung der Größe laut des um die Regler-Zustandsrückführung erweiterten Blockschaltbildes des Zustandsraum-Modells für eine Eingrößen-Regelstrecke.
Gleichung der Zustandsregler-Rückführung :
Die Standardform der Zustandsdifferenzialgleichung (vereinfacht auch Zustandsgleichung genannt) der Regelstrecke lautet:
Wird die Gleichung der Reglerrückführung für in die Zustandsgleichung eingesetzt, dann ergibt sich die Gleichung des Zustandsdifferenzialgleichung des Regelkreises.
Für regelungstechnische Belange hat die Regelstrecke von Ausnahmen abgesehen immer mehr Pole als Nullstellen. Für n > m vereinfacht sich die Ausgangsgleichung, weil der Durchgriff (bzw. ) gleich Null wird. Ist die Regelstrecke ein lineares System, so ergeben sich folgende Zustandsgleichungen des Regelkreises:
Gleichung | Bei Eingrößensystemen |
---|---|
Zustandsdifferenzialgleichung des Regelkreises | |
Ausgangsgleichung des Regelkreises | d = 0 für n > m |
Gleichung | Bei Mehrgrößensystemen |
---|---|
Zustandsdifferenzialgleichung des Regelkreises | |
Ausgangsgleichung des Regelkreises | = 0 für n > m |
Für Zustandsregler gibt es im Wesentlichen zwei Entwurfsverfahren. Beim Reglerentwurf zur Polzuweisung (engl. pole placement) werden für Ein- oder Mehrgrößensysteme gewünschte Eigenwerte des Regelkreises durch die Regler-Rückführung festgelegt. Die Güteforderungen aus dem Zeitbereich werden in die Lage der Eigenwerte übersetzt. Die Pole können genau dann beliebig vorgegeben werden, wenn die zu regelnde Strecke vollständig steuerbar ist. Andernfalls gibt es einzelne feste Eigenwerte, die nicht verändert werden können.
Auch der Entwurf eines LQ-Reglers, ein Verfahren zur optimalen Regelung, basiert auf der Struktur der Zustandsrückführung. Jedes Entwurfsverfahren muss auf eine stabile Matrix (oder ) führen, damit der Regelkreis stabil ist.
Die Zustandsrückführung erfordert die Kenntnis des Zustandes zu jedem Zeitpunkt. Ist die Regelstrecke beobachtbar, so kann der Zustandsvektor durch Einsatz eines Beobachters aus den Ausgangsgrößen rekonstruiert werden.
Siehe Grafikdiagramme für ein Berechnungsbeispiel eines Zustandsreglers im Artikel Zustandsraumdarstellung.
Begriffsklärung:
Fazit:
Bei Verzicht auf den Aufwand der Erfassung der Zustandsgrößen steht für den Entwurf eines Reglers nur die Ausgangsrückführung der Regelstrecke zur Verfügung. Bei einer Regelstrecke als Eingrößensystem bedeutet die Ausgangsrückführung für einen Regelkreis, dass es sich um einen Standardregelkreis handelt.
Ein Regler mit einer Ausgangsrückführung kann einen optimierten Regler mit einer Zustandsrückführung nicht ersetzen, weil die Zustandsgrößen dynamisch schneller als die Ausgangsrückführungen reagieren.
Bei Mehrgrößen-Regelstrecken mit Ausgangsrückführungen handelt es sich um Mehrgrößenregelungen. Die Beschreibung derartiger Mehrgrößensysteme erfolgt ebenfalls in der Matrizen / Vektor-Darstellung.
Wie auch der Zustandsregler ist der Mehrgrößenregler kein eigenständiger Regler, sondern er ist auf eine Mehrgrößen-Regelstrecke angepasst.
Bei vielen technischen Prozessen müssen mehrere physikalische Größen gleichzeitig geregelt werden, wobei diese Größen voneinander abhängig sind. Bei Änderung einer Eingangsgröße (Stellgröße u(t)) wird zusätzlich eine andere Ausgangsgröße (Regelgröße y(t)) oder auch alle anderen Ausgangsgrößen beeinflusst.
Bei Mehrgrößen-Regelstrecken sind die Eingangsgrößen und Ausgangsgrößen untereinander verkoppelt. Im Regelkreis sind die r Eingangsgrößen der Regelstrecke U1(s) bis Ur(s) die Stellgrößen des Systems, die entsprechend dem Kopplungsgrad mehr oder weniger auf die verschiedene Anzahl m der Regelgrößen Y1(s) bis Ym(s) einwirken können.
Beispiele von einfachen Mehrgrößensystemen:
Für den einfachen Fall der Verkopplung einer Regelstrecke mit 2 Eingängen und 2 Ausgängen treten die häufigsten symmetrischen Verkopplungsarten in P- und V-kanonischer Struktur auf. Bei der P-kanonischen Struktur wirkt ein Eingang der Strecke über ein Koppelelement auf den nicht zugehörigen Ausgang der Strecke. Bei der V-kanonischen Struktur wirkt ein Ausgang der Strecke über ein Koppelelement auf den nicht zugehörigen Eingang der Strecke.
Je nach Art der gekoppelten Regelstrecken können für den Reglerentwurf 3 Konzepte gewählt werden:
Bei Mehrgrößensystemen sind die Eingangsgrößen U(s) mit den Ausgangsgrößen Y(s) untereinander über gekoppelte Übertragungssysteme schwach bis stark gekoppelt.
Bei Regelstrecken mit identischer Anzahl von Ein- und Ausgängen mit schwacher Kopplung werden dezentrale Regler für jede Hauptstrecke eingesetzt und die Kopplung bleibt unberücksichtigt. Die eingekoppelten Signalgrößen werden als Störgrößen betrachtet.
Für den dezentralen Regler gilt der konventionelle Entwurf des Reglers mit der Beschreibung der Übertragungsfunktion aller Komponenten unter Vernachlässigung der gegenseitigen Beeinflussung durch Koppelelemente.
Bei einem Einsatz von Standardreglern bietet sich als einfachste Entwurfsstrategie die Pole-Nullstellenkompensation des Reglers mit der Hauptregelstrecke des offenen Regelkreises an. Mit der inversen Laplace-Transformation des geschlossenen Regelkreises kann für ein Eingangs-Testsignal die P-Verstärkung des Regelkreises optimiert werden. Die Ausgangsgröße y(t) kann grafisch dargestellt werden.
Es ist zu beachten, dass die Stellgrößen der Regler nicht durch die Regelstrecken begrenzt werden, anderenfalls sind diese Berechnung und auch alle anderen Methoden der Reglerdimensionierung im komplexen Frequenzbereich nicht gültig.
Sind nichtlineare Elemente oder eine Systemtotzeit in der Strecke enthalten, kann ein optimaler Regler durch numerische Berechnung bestimmt werden. Entweder werden kommerzielle Rechenprogramme verwendet oder alle nichtlinearen Komponenten werden durch logische Gleichungen, alle linearen Komponenten durch Differenzengleichungen für diskrete Zeitintervalle Δt beschrieben.
Regelstrecken mit starker Kopplung erfordern Mehrgrößenregler, anderenfalls kann die gegenseitige Beeinflussung der Signalgrößen zu einem unbefriedigenden Regelverhalten des Gesamtsystems bis zum Verlust der Stabilität führen.
Für den einfachen Fall der Verkopplung einer Regelstrecke mit 2 Eingängen und 2 Ausgängen treten die häufigsten symmetrischen Verkopplungsarten in P- und V-kanonischer Struktur auf.[4][5]
Bei der P-kanonischen Struktur wirkt ein Eingang der Strecke über ein Koppelelement (Koppelglied) auf den nicht zugehörigen Ausgang der Strecke. Bei der V-kanonischen Struktur wirkt ein Ausgang der Strecke über ein Koppelelement auf den nicht zugehörigen Eingang der Strecke. Die Koppelelemente können statisches, dynamisches oder beide Eigenschaften aufweisen.
Moderne regelungstechnische Methoden basieren fast alle auf der P-kanonischen Struktur. Liegt das Modell in der Regelstrecke als V-kanonische Struktur vor, kann es in die P-kanonische Struktur umgerechnet werden. Die Regelstrecken und die Entkopplungsregeler können auch in beliebiger Struktur-Mischform realisiert werden.
Die beste Strategie der Entkopplung ist das Einfügen von Entkopplungsreglern, deren Wirkung auf die Entkopplung der Regelstrecke beschränkt ist. Damit kann man die 2 entkoppelten Regelkreise als unabhängige Eingrößenregelkreise betrachten und nachträgliche Parameteränderungen der Regler durchführen. Die ursprüngliche verkoppelte Regelstrecke mit den Hauptregelstrecken G11(s) und G22(s) ändert sich wie nachfolgend dargestellt auf 2 unabhängige Regelstrecken GS1(s) und GS2(s):
Der Entkopplungsregler wird zuerst entworfen. Er ist nur abhängig von den Regelstrecken und deren Verkopplung. Die Übertragungsfunktion der Entkopplungsregler für GR12(s) und GR21(s) lautet:
Entkopplungsregler GR12(s) und GR21(s)
Ersatzregelstrecke GS1(s)
Die zwei offenen unabhängigen entkoppelten Regelkreise haben sich bezüglich der Regelstrecke durch die Kopplungselemente geändert. Die neue Regelstrecke GS1(s) besteht aus der Parallelschaltung der Zweige: G11(s) parallel zu (−1) * GR21(s) * G12(s)
Die Übertragungsfunktion der neuen Regelstrecke GS1(s) lautet:
Wird in diese Gleichung die Gleichung für GR21(s) eingesetzt, dann erhält man die neue Übertragungsfunktion der Strecke GS1(s), die in Verbindung mit dem zugehörigen Entkopplungsregler völlig unabhängig ist. Sie ist nur abhängig von den Übertragungsgliedern der ursprünglichen Strecke mit ihren Verkopplungen:
Ersatzregelstrecke GS2(s)
Die zwei offenen unabhängigen entkoppelten Regelkreise haben sich bezüglich der Regelstrecke durch die Kopplungselemente geändert. Die neue Regelstrecke GS2(s) besteht aus der Parallelschaltung der Zweige: G22(s) parallel zu (−1) * GR12(s) * G21(s)
Die Übertragungsfunktion der neuen Regelstrecke GS2(s) lautet:
Wird in diese Gleichung die Gleichung für GR12(s) eingesetzt, dann erhält man die neue Übertragungsfunktion der Strecke GS2(s), die in Verbindung mit dem zugehörigen Entkopplungsregler völlig unabhängig ist. Sie ist nur abhängig von den Übertragungsgliedern der ursprünglichen Strecke mit ihren Verkopplungen:
Der Regelentwurf kann wie in dem Kapitel – „Dezentrale Regler bei Mehrgrößen-Regelstrecken“ geschildert – erfolgen.
Der „echte“ Mehrgrößenregeler hat so viele Eingänge r wie Regelgrößen (wie auch Regelabweichungen) und so viele Ausgänge m wie Stellgrößen.
Die übliche Systembeschreibung von Mehrgrößensystemen erfolgt durch die Übertragungsfunktion aller Elemente in der Matrizen / Vektor-Darstellung. Wie bei Eingrößensystemen ist auch bei Mehrgrößensystemen die charakteristische Gleichung des geschlossenen Regelkreises mit ihren Eigenwerten für die Stabilität verantwortlich.[6]
Bei einschleifigen Regelkreisen wird der Nenner der Übertragungsfunktion des Regelkreises gleich Null gesetzt.
Der Regelkreis ist stabil, wenn die Wurzeln der charakteristischen Gleichung sich in der linken s-Halbebene befinden. (Siehe Bedeutung der Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion)
Nachfolgend werden die Schritte beschrieben, um die Übertragungsfunktionsmatrix des geschlossenen Regelkreises und die zugehörige charakteristische Gleichung zu ermitteln:
Um die mathematische Beschreibung einfach zu gestalten, wird von Systemen mit 2 gekoppelten Ein- und Ausgangsgrößen ausgegangen. Eine Erweiterung auf Systeme mit mehreren Ein- und Ausgangsgrößen ist möglich.
Aufstellung der Übertragungsmatrix der verkoppelten Regelstrecke
Laut des dargestellten Blockdiagramms eines offenen Regelkreises wirkt in einem Zweigrößensystems ein Regler GR(s) auf eine Regelstrecke G(s). Die Kopplung der Regelstrecke ist in P-kanonischer Struktur ausgeführt.
Aus dem Blockschaltbild des offenen Regelkreises können die skalaren Gleichungen der Regelstrecke direkt abgelesen werden:
Aufstellung des Matrix-Vektor-Produktes des offenen Regelkreises
In Matrix-Schreibweise ergibt sich folgende Darstellung als Übertragungsmatrix:
Allgemein lässt sich eine Regelstrecke mit r Eingängen (Stellgrößen) und m Ausgängen (Regelgrößen) durch folgende Matrixgleichung beschreiben:
Die genannten Größen haben folgende Bedeutung:
Fasst man die Strecken-Übertragungsmatrix und die Regler-Übertragungsmatrix zusammen, dann ergibt sich folgende Matrixgleichung des offenen Regelkreises:
Aufstellung der Übertragungsfunktionsmatrix des geschlossenen Mehrgrößenregelkreises
Die Übertragungsfunktionsmatrix des offenen Regelkreises kann mit der Schließbedingung zu einem geschlossenen Regelkreis überführt werden.
Danach lautet die Matrixgleichung der Regelgröße laut des Blockdiagramms:
Die Schließbedingung mit der Matrix für den r-fachen Regelkreis ergibt:
Damit lautet die Übertragungsfunktionsmatrix des geschlossenen Regelkreises:
Darstellung der charakteristischen Gleichung in Matrix-Vektor-Darstellung und skalarer Darstellung
Der Eigenvorgang des geschlossenen Regelkreises wird beschrieben durch:
In Matrizendarstellung lautet diese Gleichung:
Eine Lösung dieses Gleichungssystems existiert nur dann, wenn die Determinante von () verschwindet. Man erhält die charakteristische Gleichung des Mehrfachregelkreises:
Damit ist gezeigt, dass ein Mehrgrößensystem wie ein Eingrößensystem auch nur eine charakteristische Gleichung besitzt, die das Stabilitätsverhalten bestimmt.
Der geschlossene Mehrgrößenregelkreis ist dann E/A-stabil, wenn alle Pole (beziehungsweise je nach Betrachtung die Wurzeln) der charakteristischen Gleichung einen negativen Realteil haben.
Bei linearen zeitinvarianten Systemen (LZI-System) ohne Energiespeicher ist die Ausgangsgröße proportional der Eingangsgröße. Bei linearen Systemen mit Energiespeichern ist die Ausgangsgröße im eingeschwungenen Zustand der Eingangsgröße proportional. Bei Systemen mit integralem Verhalten (I-Glied) ist die Ausgangsgröße proportional des zeitlichen Integrals der Eingangsgröße. Bei Systemen mit differenzierendem Verhalten (D-Glied) ist die Ausgangsgröße proportional des Differentialquotienten der Eingangsgröße.
Mathematische Operationen von Signalen bezogen auf die Ausgangsgröße wie:
Bei nichtlinearen Übertragungssystemen wirkt mindestens eine nichtlineare Funktion in Verbindung mit linearen Systemen. Diese nichtlinearen Funktionen werden nach stetigen und unstetigen Nichtlinearitäten unterschieden. Stetige Nichtlinearitäten weisen keine Sprünge der Übertragungskennlinie auf wie z. B. bei quadratischem Verhalten. Unstetige Übertragungskennlinien wie bei Begrenzungen, Hysterese, Ansprechempfindlichkeit, Zwei- und Mehrpunkt-Charakter haben keinen kontinuierlichen Verlauf.
Das Prinzip der Superposition gilt nicht bei nichtlinearen Übertragungssystemen.
Zu den nichtlinearen Reglern gehören auch die unstetigen Regler wie Zweipunkt-, Mehrpunkt- und Fuzzy-Regler, die in einem eigenen Kapitel beschrieben sind.
Die Berechnung von nichtlinearen Systemen geschieht meist im Zeitbereich. Die Lösung von nichtlinearen Differentialgleichungen ist schwierig und aufwendig. Dies bezieht sich besonders auf die Gruppe der Systeme mit unstetigem nichtlinearem Übertragungsverhalten bzw. nichtstetigen Reglern. Einfacher ist die Berechnung eines Regelkreises mit schaltenden Reglern mit rechnergestützten zeitdiskreten Verfahren.
Fuzzy-Regler arbeiten mit sogenannten „linguistischen Variablen“, welche sich auf „unscharfe Mengenangaben“ beziehen, wie zum Beispiel hoch, mittel und niedrig. Die „Regelbasis“ verknüpft die fuzzifizierten Ein- und Ausgangssignale mit logischen Regeln wie WENN-Teil und DANN-Teil. Mit der Defuzzifizierung wird die unscharfe Menge wieder in scharfe Stellbefehle gewandelt (z. B. Ventilkombinationen für „Kraft Aufbau“ oder „Kraft Abbau“ oder „Kraft halten“).
Ein grafisches Fuzzy-Modell zeigt eine Fuzzy-Variable als skalierte Grundmenge (z. B. Temperaturbereich), deren meist dreieckförmige Teilmengen (Fuzzy-Sets) auf der Abszisse eines Koordinatensystems meist überlappend aufgeteilt sind. Die Ordinate zeigt den Zugehörigkeitsgrad für jeden scharfen Wert der Eingangsgröße an. Der maximale Wert des Zugehörigkeitsgrades für jeden Fuzzy-Set beträgt μ = 1 ≡ 100 %.
Die Hauptanwendung der Fuzzy-Logik bezieht sich auf Fuzzy-Controller für Prozesse mit mehreren Ein- und Ausgangsgrößen, deren mathematische Modelle aufwändig oder schwierig zu beschreiben sind. Dies sind meist technische Prozesse mit konventionellen Verfahren, die korrigierende Eingriffe von Menschenhand (Anlagenfahrer) erfordern, oder wenn der Prozess nur manuell gefahren werden kann. Das Ziel der Anwendung der Fuzzy-Logik ist, solche Prozesse zu automatisieren.
Anwendungsbeispiele sind die Steuerung von Schienenfahrzeugen oder Regalförderanlagen, bei denen Fahrzeiten, Bremswege und Positionsgenauigkeiten von den Massen, Förderwegen, Schienenhaftwerten und Zeitplänen abhängig sind. Im Allgemeinen handelt es sich bei diesen Prozessen um Mehrgrößensysteme, deren Führungsgrößen Programm-gesteuert und -geregelt werden. Einfachere Anwendungen im privaten Haushalt sind Wasch- und Geschirrspülmaschinen.
Die Grundidee des Fuzzy-Controllers bezieht sich auf die Anwendung des Expertenwissens mit linguistischen Begriffen, durch die der Fuzzy-Controller optimiert wird, ohne dass ein mathematisches Modell des Prozesses vorliegt. Der Fuzzy-Controller hat keine dynamischen Eigenschaften.
Diese Anwendungen der Fuzzy-Controller als Kennfeld-Controller in Mehrgrößensystemen gelten als robust und arbeiten auch bei Änderung der Prozess-Parameter noch relativ zuverlässig.
Die auf die Fuzzy-Logik basierenden Fuzzy-Regler sind statische nichtlineare Regler, deren Eingangs-Ausgangkennlinie in Abhängigkeit von den gewählten Fuzzy-Sets und deren Bewertung (Regelbasis) abhängt. Die Eingangs-Ausgangskennlinie kann in allen Quadranten des Koordinatensystems, speziell nichtlinear durch den Ursprung im 1. und 3. Quadranten, lückend (Ausgangsgröße = 0) in der Nähe des Ursprungs oder nur positiv im 1. Quadranten verlaufen. Sie kann als extremes Beispiel durch Wahl der Lage der Fuzzy-Sets auch linear verlaufen oder ein klassisches 3-Punkt-Regelverhalten zeigen.
Fuzzy-Regler haben keine dynamischen Komponenten. Als Eingrößensysteme sind sie deshalb im Verhalten mit einem Proportional-Regler (P-Regler) vergleichbar, dem in Abhängigkeit von den linguistischen Variablen und deren Bewertung eine beliebige nichtlineare Kennlinie gegeben wird. Deshalb sind Fuzzy-Regler für lineare Eingrößen-Regelstrecken einem optimierten konventionellen Standardregler mit PI-, PD- oder PID-Verhalten hoffnungslos unterlegen.
Fuzzy-Regler können durch Erweiterung der Eingangskanäle mit integralem und differenziellem Anteil zu einem PID-Verhalten modifiziert werden. Sie haben gegenüber dem klassischen PID-Regler keinen funktionellen Vorteil, sind aber fähig, eine nichtlineare Funktion der Regelstrecke zu kompensieren. Bei zwei oder mehreren Signal-Eingängen wird der Fuzzy-Regler zu einem Kennfeldregler.
Adaptive Regler sind Regler, die ihre Parameter automatisch an die Regelstrecke anpassen. Sie sind somit zur Regelung zeitvarianter Regelstrecken geeignet.
Extremwertregler dienen dazu, den Prozess in einen aus Sicht des Anwenders optimalen Zustand zu führen und dort zu halten. Sie werden dort verwendet, wo sich aus den Messgrößen gegenüber den Stellgrößen ein Kennfeld ergibt, das ein Extremum aufweist.
Bei unstetigen Reglern (auch nichtstetige Regler) ist die Ausgangsgröße u(t) gestuft. Bei einem einfachen Zweipunktregler kann die Ausgangsgröße des Reglers – die Stellgröße u(t) – nur 2 diskrete Zustände annehmen: Ist die Regelabweichung e(t) = w(t) – y(t) positiv, schaltet der Zweipunktregler ein, ist sie Null oder negativ schaltet der Regler aus. Hat der Regler eine symmetrische Hysterese, muss die Regelabweichung stets einen kleinen Betrag negativ werden, damit der Regler ausschaltet und einen gleichen kleinen Betrag positiv werden, damit der Regler einschaltet.
Unstetige Regler mit den Ausgangssignalzuständen „Ein“ oder „Aus“ können auch ein proportionales Verhalten haben, wenn die Ausgangsgröße eines klassischen Standardreglers mit einem Pulsbreiten-Modulator versehen wird. Die Regelstrecke wirkt dabei zur Glättung der gepulsten Signale als Tiefpass. Zweck dieses Verfahrens ist die möglichst verlustfreie Steuerung großer Energieflüsse.
Bei der Verwendung elektrischer und elektronischer Schaltelemente wie Relais, Schaltschütze, Transistoren und Thyristoren ist eine möglichst niedrige Schaltfrequenz anzustreben, um Bauelemente-Verschleiß und Alterung gering zu halten. Auch elektronische Bauelemente unterliegen einer Alterung, wenn sie bei erhöhter innerer Temperatur betrieben werden. Andererseits bedeutet eine niedrige Schaltfrequenz eine Erhöhung der Welligkeit des Signals der Regelgröße.
Wegen der durch steile Impulsflanken verursachten elektromagnetischen Störungen der Schaltvorgänge sind geeignete Entstörmaßnahmen vorzusehen. (Siehe Elektromagnetische Verträglichkeit)
Wie auch bei linearen Übertragungssystemen interessiert die Stabilität eines Regelkreises mit nichtstetigen Reglern.
Die effektivste Berechnungsmethode für den Entwurf, die Analyse und der Optimierung eines nichtstetigen Reglers im Regelkreis-Modell ist numerisch durch kommerzielle Rechenprogramme wie mit MATLAB oder Simulink zu erreichen.
Liegen solche Rechenprogramme nicht vor, so können mit der Kombination logischer Gleichungen und Differenzengleichungen beliebige Systeme und Regelkreise mit stetigen, unstetigen, nichtlinearen und linearen Elementen relativ einfach mit beliebigen Rechenprogrammen – vorzugsweise Tabellenkalkulation – numerisch für eine diskrete Zeit Δt berechnet werden. Das Verhalten der relevanten Regelkreissignale für ein Test-Eingangssignal kann direkt tabellarisch und grafisch dargestellt werden. (Siehe Artikel Regelkreis#Numerische Berechnung dynamischer Übertragungssysteme (Übersichtsdarstellung) und Regelkreis#Regelkreis mit unstetigen Reglern)
Zweipunktregler können nicht nur einfachste Regelaufgaben zufriedenstellend lösen. Sie vergleichen die Regelgröße mit einem meist hysteresebehafteten Schaltkriterium und kennen nur zwei Zustände: „Ein“ oder „Aus“. Diese so definierten Zweipunktregler haben theoretisch kein Zeitverhalten.
Darunter fallen die elektromechanischen Regler oder Schaltkomponenten wie z. B. Bimetall-Schalter, Kontaktthermometer, Lichtschranken. Häufig sind diese einfachen Regler nur für einen festen Sollwert geeignet.
Das Hystereseverhalten des realen elektromechanischen Zweipunktreglers entsteht meist durch Reibungseffekte, mechanisches Spiel, zeitabhängige elastische Materialverformungen und Mitkopplung des Systemausgangs auf den Eingang.
Elektronische Zweipunktregler erlauben eine sehr gute Anpassung an die Regelstrecke. Dafür werden 2 wichtige Eigenschaften des Reglers erforderlich. Die sich automatisch einstellende Schaltfrequenz des Regelkreises muss durch einzustellende Parameter erhöht oder reduziert werden, um eine gewünschte optimale Schaltfrequenz zu erzielen.
Dazu wird der ideale elektronische Zweipunktregler durch folgende Schaltungsmaßnahmen erweitert:
Damit kann hinsichtlich der unterschiedlichen Arten der Regelstrecken ein gewünschtes Verhalten der Regelgröße und der Schaltfrequenz erreicht werden.
Für spezielle Anwendungen der Regler und Stellglieder kann die Signalverarbeitung auch auf der Basis von pneumatischen oder hydraulischen Medien erfolgen. Die Gründe dafür sind: explosive Materialien in der Umgebung, hohe elektromagnetische Störstrahlung, keine elektrische Energie vorhanden, pneumatische oder hydraulische Energieeinrichtungen sind bereits vorhanden.
Richtig angepasste Zweipunktregler an eine Regelstrecke können für die Regelgröße y(t) bessere dynamische Eigenschaften als die Anwendung eines stetigen Standardreglers bieten.
Für die Berechnung bzw. die Simulation eines Schaltregelkreises muss das Verhalten des Zweipunktreglers klar definiert sein. Der ideale Zweipunktregler vergleicht ein Eingangssignal e(t) > 0 und e(t) < 0 und liefert ein Ausgangssignal u(t) = UMAX oder u(t) = u(0). Bei einer Regelstrecke 1. Ordnung würde durch den idealen Zweipunktregler eine sehr hohe Schaltfrequenz entstehen, die durch die zufällig gewählten Schaltkomponenten und der Regelstrecke bestimmt wäre. Deshalb erhält ein komfortabler realer Schaltregler eine möglichst einstellbare Hysterese zugeordnet.
Wichtigste Komponente dieses idealen Zweipunktreglers ist der Komparator, der 2 Spannungen vergleicht. Durch positive Rückführung (Mitkopplung) eines einstellbaren kleinen Anteil der Ausgangsgröße wird das Hystereseverhalten erreicht. Eine symmetrische Hysterese für das Eingangssignal e(t) > Null und e(t) < Null entsteht, wenn die Ausgangsgröße des Komparators positive und negative Werte annehmen kann. Eine Endstufe sorgt dann für die Beziehungen:
Die Größe der Hysterese bezieht sich laut Signalflussplan auf das Ausgangssignal des idealen Zweipunktreglers u1(t) = ±U1MAX, das über den Kopplungsfaktor KH auf den Eingang des Reglers positiv zurückgeführt wird. Diesen Anteil muss die Regelabweichung e(t) als Eingangsgröße des Reglers überschreiten oder unterschreiten, damit der Zweipunktregler reagiert.
Der symmetrische Bereich der Hysterese beträgt:
Der Kopplungsfaktor KH kann empirisch bei der Auslegung des Reglers festgelegt werden. Der symmetrische Hystereseeinfluss UH kann auch in [%] des Reglerausgangs u1(t) = U1MAX definiert werden:
Der Kopplungsfaktor KH beträgt für UH[%]:
Die Schaltfrequenz eines Regelkreises mit einem realen Zweipunktregler wird bestimmt durch:
Die Schaltfrequenz fSCHALT ergibt sich durch die Größe der Einschaltzeit tEIN und der Ausschaltzeit tAUS im Regelkreis und bestimmt damit die Periodendauer.
Die optimale Schaltfrequenz ist erreicht, wenn eine weitere Zunahme der Frequenz nur höhere Schaltverluste bringt, ohne die Regelabweichung der Regelgröße zu verbessern, beziehungsweise wenn die Schaltüberlagerungen der Regelgröße unterhalb der angezielten Genauigkeitsklasse liegen.
Der Einfluss der Hysterese wirkt als Verzögerung der zeitabhängigen Regelabweichung e(t). Die Regelabweichung muss im positiven und im negativen Bereich die Größe der Hysterese überwinden, bis der Regler reagiert. Die Größe der Hysterese verstimmt die Regelabweichung und damit die Regelgröße. In vielen Fällen reicht eine Hysterese von 0,1 % bis 1 % der Stellgröße.
Im Regelkreis mit einem realen Zweipunktregler mit Hysterese wird mit steigender Hysterese die Schaltfrequenz niedriger. Bei einer Regelstrecke 1. Ordnung ergibt sich eine sehr hohe Schaltfrequenz, die durch die Einstellung einer größeren Hysterese reduziert wird.
Für eine PT1-Regelstrecke mit einem Zweipunktregler mit Hysterese kann der Verlauf der Regelgröße y(t) als Sprungantwort grafisch konstruiert werden. Es handelt sich dabei um Ausschnitte des exponentiellen Anstiegs und Abfalls des Verlaufs des geschalteten PT1-Gliedes entsprechend der Zeitkonstanten.
Eine Regelstrecke höherer Ordnung kann als ein System mit Ersatztotzeit aufgefasst werden und führt zu einer niedrigen Schaltfrequenz. Durch zusätzliche Rückführungsmaßnahmen der Stellgröße u(t) kann die Schaltfrequenz erhöht und eine zufriedenstellende Regeleigenschaft erreicht werden.
Eine echte Systemtotzeit in der Größe von mehr als 10 % der dominanten Zeitkonstante der Regelstrecke führt zu einer niedrigen Schaltfrequenz und damit zu großer Welligkeit des Signals der Regelgröße mit annäherungsweise 10 %. Zusätzliche Rückführungsmaßnahmen der Stellgröße ergeben nur mit einer verzögert nachgebenden Rückführung eine Verbesserung. Je größer die dominante Zeitkonstante der Regelstrecke ist, umso weniger kritisch ist die Einstellung der Reglerparameter. Der Schaltregler ist je nach Anspruch an die Genauigkeit der Regelgröße für Regelstrecken mit Totzeit in dynamischer Hinsicht besser geeignet als ein stetiger Standardregler.
Für die Berechnung des Regelkreises werden häufig normierte Größen eingeführt. Handelt es sich zum Beispiel um eine Temperaturregelung, bei der die elektrische Energie über ein Schütz oder über eine Leistungselektronik zugeführt wird, können der Sollwert w(t), die Stellgröße u(t) und die Regelgröße y(t) in der Dimension Temperatur ausgedrückt werden. Die Sprungantwort der Stellgröße u(t) für den Wert UMAX stellt sich erst nach einer theoretisch unendlich langen Zeit an der Regelstrecke ein.
Für die Normierung der Systemgrößen können die maximalen Werte der Führungsgröße w(t) und der Regelgröße y(t) des Regelkreises mit 100 % oder mit 1 dargestellt werden. Die maximale Stellgröße UMAX muss größer als die maximale Regelgröße sein.
Die Stellgröße u1(t) = ±U1MAX kann in einem beliebigen Verhältnis zu ±UMAX stehen und wird meist durch die verwendeten Elektronik-Bausteine bestimmt. Die Größe der Hysterese UH ist abhängig von ±U1MAX und dem Kopplungsfaktor UK.
Es ist zu beachten, dass die Aufheizzeitkonstanten der Regelstrecke nicht identisch mit den Abkühlzeitkonstanten sein müssen.
Die einzig sinnvolle und relativ einfache Berechnungsmethode eines Regelkreises mit Zweipunkt und Mehrpunkt-Reglern ist die Anwendung kommerzieller Rechenprogramme oder die numerische Behandlung mit der diskretisierten Zeit Δt auf der Basis logischer Gleichungen kombiniert mit den Differenzengleichungen linearer Systeme. Das zeitliche Verhalten sämtlicher Regelkreisgrößen wird tabellarisch und grafisch direkt dargestellt.
Die numerische Beschreibung des Zweipunktreglers mit Hysterese besteht aus einer einfachen linearen und 2 nichtlinearen Gleichungen. Die logische Beschreibung kann mit der WENN-, DANN-; SONST-Anweisung der Tabellenkalkulation laut des dargestellten Signalflussplanes erfolgen.
Dieser Regler hat kein Zeitverhalten, aber er bewirkt an seinem Ausgang eine Phasenverschiebung zu einem zeitabhängigen Eingangssignal.
Die 3 folgenden numerisch zu lösenden Gleichungen sind in der Reihenfolge festgelegt und werden durch Rekursion gelöst.
Lineare numerische Gleichung der Rückführung für das Hystereseverhalten:
(Anmerkung: ist laut der Gleichungsreihenfolge noch nicht bekannt)
Nichtlineare Gleichung des Komparators:
Nichtlineare Gleichung der Stellgröße:
Die Indizierungen mit n bedeuten: n = (0; 1; 2; 3; …) = Rekursionsfolge, n-1 = um eine Folge zurückliegendes Ergebnis.
Für die Berechnung eines Regelkreises werden für eine Rekursionsfolge der gleichen Zahl n alle Systeme der Systemkette hintereinander mit der diskreten Zeit Δt berechnet. n * Δt ist die aktuelle Zeit der Folge n.
Die Rekursionsfolge für eine beliebige Zahl von n lautet für einen Regelkreis:
Im Artikel Regelkreis mit dem Kapitel Unstetige Regler wird der Entwurf mit unstetigen Reglern behandelt.
Einfachste Bimetall-Regler, die bei Heizanlagen meist nur auf einen festen Temperatur-Schaltpunkt reagieren, sind seit langem im Einsatz. Um Überschwingungen der Regelgröße bei einem Sollwertsprung zu vermeiden und um die Schaltfrequenz zu erhöhen, wird durch den aktiven Einschaltvorgang des Schaltreglers gleichzeitig durch eine kleine Heizquelle der Bimetall-Regler zum vorzeitigen Abschalten geführt. Dieses Verhalten bezeichnet man mit „Thermischer Rückführung“.
Elektronische Regler mit einer zeitabhängigen Rückführung des Ausgangssignals erlauben eine beliebige Anpassung des Reglers an die Regelstrecke. Sie wirken alle subtrahierend auf die Regelabweichung und erhöhen damit die Schaltfrequenz. Nachteilig wirkt bei größerem Einfluss die damit verbundene Verstimmung der Regelabweichung und damit die Abweichung der Regelgröße vom Sollwert.
Eine wesentlich bessere Eigenschaft der Rückführung ergibt sich, wenn die Verstimmung der Regelabweichung nur vorübergehend wirkt und dann exponentiell abnimmt.
Durch folgende bekannte Rückführungsmaßnahmen des Zweipunktregler wird die Dynamik des Regelkreises verbessert:
Dreipunktregler mit 3 Schaltzuständen haben einen Eingang und 2 Ausgänge und schalten jeden der beiden Ausgänge in den Zustand „Ein“ oder „Aus“ oder „beide Aus“ in Abhängigkeit eines bestimmten positiven oder negativen Wertes des Eingangssignals e(t). Sie erlauben 2 unterschiedliche Energiearten zu schalten und haben eine meist symmetrische „Totzone“ mit einem oberen und unteren Grenzwert der Regelabweichung e(t), in der um den Nullpunkt der Regelabweichung keine Schaltaktivitäten stattfinden.
Anwendungen findet man häufig bei motorischen Stellantrieben für Vor- und Rücklauf und in allen Arten integral wirkenden Regelstrecken.
Bei proportionalen Regelstrecken mit unterschiedlichen dominanten Zeitkonstanten (Beispiel: schnelle Aufheizung und langsame Abkühlung) kann die Reaktionsgeschwindigkeit der Regelgröße für Führungsgrößenänderungen verbessert werden, wenn anstelle des Zweipunktreglers an einer Heizungsregelstrecke ein Kühlaggregat über einen Dreipunktregler eingeschaltet wird.
Andere Anwendungen des Dreipunktreglers mit unsymmetrischer Totzone sind bekannt zur Reduzierung der Schwankungsbreite der Regelgröße durch Regelung einer Grundlast mit aufgesetzter Teillast. Beispiel: Glühofen mit 2 Heizeinrichtungen.[9]
Ebenso wie bei dem Zweipunktregler kann der Dreipunktregler neben der Hysterese ein gewünschtes Zeitverhalten durch eine subtraktive Rückführung auf den Eingang des Reglers mit Verzögerungsgliedern bekommen.
Wie bei den Zweipunktreglern reduziert sich die Schaltfrequenz mit steigender Hysterese.
Die Größe der Totzone des Dreipunktreglers kann empirisch oder durch numerische Simulation bestimmt und optimiert werden. Sie ist von der Totzeit und von der Anzahl und Größe der Zeitkonstanten bzw. Integrationskonstanten der Regelstrecke abhängig. Eine weitere Vergrößerung einer als optimal bestimmten Totzone ruft bei P- und I-Regelstrecken größere Regelabweichungen gegenüber dem Sollwert hervor.
Bei Mehrpunktreglern, zu denen auch der Dreipunktregler gehört, kommen noch zusätzliche Schaltzustände hinzu. Die Anwendung des Mehrpunktreglers setzt eine entsprechende Schnittstelle der Regelstrecke voraus.
Kompaktregler sind zumeist digitale Kleinrechner mit eigenen, genormten elektrischen Ein- und Ausgängen zur Montage auf Hut-Schienen oder als Schalttafeleinbau.
Bei Softwarereglern wird das Computerprogramm als Soft-SPS in einem hinreichend leistungsfähigen Prozessleitsystem (PLS) realisiert. Die Ausführung des Codes erfolgt in deterministischer Echtzeit. Der Regler benötigt keine direkte Verdrahtung zu Sensoren und Aktoren, sondern kommuniziert mit beliebigen an das PLS angeschlossenen Aktoren und Sensoren, zum Beispiel über ein Feldbussystem wie Profibus, EtherCAT, Interbus, Foundation Fieldbus, AS-Interface. Dieses Vorgehen vermindert den Verkabelungsaufwand und erleichtert eine örtliche Trennung von Prozess und Regler.
Regler werden in vielen Anwendungsbereichen eingesetzt. Oft sind sie in Geräten eingebaut zum Beispiel der Zweipunktregler im elektrischen Bügeleisen, oder einer Schaltung zur Spannungsstabilisierung in einem Netzteil. Diese Regler sind meist speziell für das entsprechende Gerät entwickelt und gestatten keine Parameterveränderungen. In der Prozesstechnik, z. B. in der Chemieindustrie, in Kraftwerke oder in der Nahrungsmittelindustrie, werden Universalregler eingesetzt mit flexibler Einstellbarkeit der Reglerparameter
so dass man sie als P-, PI-, PD- oder PID-Regler betreiben kann.
Ein Universalregler hat genormte Ein- und Ausgangssignale, sogenannte Einheitssignale. Das Eingangssignal kommt aus dem Messsystem und das Ausgangssignal wirkt auf das Stellglied. So ist es möglich, Geräte verschiedener Hersteller in einem Regelkreis miteinander zu betreiben. Live Zero (lebender Nullpunkt) bzw. offset zero bedeutet, dass das Einheitssignal einen Wert, zum Beispiel 4 mA, hat, wenn der Messwert 0 ist. Ist das Einheitssignal 0 mA, muss also ein Drahtbruch oder ein Kurzschluss vorliegen. Bei elektrischen Einheitssignalen werden Stromsignale bevorzugt. Sie sind bei langen Signalleitungen weniger anfällig gegen äußere Störfelder. Außerdem hat der Spannungsabfall an der Signalleitung keine Auswirkungen auf das Signal.
Pneumatische Regler arbeiten mit genormten pneumatischen Ein- und Ausgängen, zum Beispiel 0,2 … 1 bar oder 3 … 15 psi. In der Verfahrenstechnik werden sie zum Beispiel im Explosionsschutz-Bereich eingesetzt.
Regler ohne Hilfsenergie, häufig als ROH bezeichnet, übernehmen alle zur Regelung erforderlichen Aufgaben. Sie integrieren den Messaufnehmer, den Regler und auch das Stellglied in ein System und nehmen die Energie zum Arbeiten aus dem zu regelnden Medium. Beispiele sind der Druckregler eines Druckminderers für Gasflaschen und der Bimetallthermostat eines Bügeleisens.
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