Lorentz-Kovarianz

Der mathematische Begriff Lorentz-Kovarianz ist eine Eigenschaft der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit eines Systems, die im Rahmen der Relativitätstheorie untersucht wird.

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Auf Mannigfaltigkeiten beziehen sich "Kovariant" und "Kontravariant" darauf, wie sich Objekte unter allgemeinen Koordinatentransformationen transformieren. Sowohl kovariante als auch kontravariante Vierervektoren können Lorentz-kovariante Größen sein.

Die lokale Lorentz-Kovarianz, die sich aus der allgemeinen Relativitätstheorie ergibt, bezieht sich auf die Lorentz-Kovarianz, die an jedem Punkt nur lokal in einem infinitesimalen Bereich der Raumzeit angewendet wird. Es gibt eine Verallgemeinerung dieses Konzepts, um die Poincaré-Kovarianz und die Poincaré-Invarianz abzudecken.

Definition

Unter Lorentz-Kovarianz versteht man zwei verschiedene, aber eng miteinander verbundene Bedeutungen:

• Eine physikalische Größe heißt Lorentz-kovariant, wenn sie sich unter einer gegebenen Darstellung der Lorentz-Gruppe transformiert. Nach der Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe können solche Größen Skalare, Vierervektoren, Vierertensoren oder Spinoren sein. Insbesondere nennt man einen Lorentz-kovarianten Skalar, der auch unter Lorentz-Transformationen invariant ist, Lorentz-Skalar.

• Eine Gleichung wird als Lorentz-kovariant bezeichnet, wenn sie in Lorentz-kovarianten Größen ausgedrückt werden kann. Die Schlüsseleigenschaft solcher Gleichungen ist, dass sie in jedem Inertialsystem gelten, wenn sie in einem Inertialsystem gelten. Diese Bedingung ist eine Voraussetzung nach dem Relativitätsprinzip.^[1]

Beispiele

Im Allgemeinen kann das Transformationsverhalten eines Lorentz-Tensors durch seinen Rang identifiziert werden, die die Anzahl der freien Indizes ist, die er hat. Bei einer nicht-indizierten Größe handelt es sich um einen Skalar, bei einer einfach-indizierten Größe handelt es sich um einen Vektor. Bei mehr als einem Index handelt es sich um eine Matrix. Einige spezielle Lorentz-kovariante Tensoren sind:

Lorentz-Skalare

• Die Eigenzeit ${\displaystyle \mathrm {d} \tau ={\frac {\mathrm {d} s}{c}}}$
• Die Eigenlänge ${\displaystyle L_{0}}$
• Die Masse ${\displaystyle m}$

Vierervektoren

• Der Viererort ${\displaystyle x^{\alpha }={\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}}$
• Die Vierergeschwindigkeit ${\displaystyle u^{\mu }={\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=\gamma {\begin{pmatrix}c\\v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{pmatrix}}}$
• Der Vierergradient ${\displaystyle \partial ^{\alpha }=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\frac {\partial }{\partial x}},-{\frac {\partial }{\partial y}},-{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$
• Das Viererpotential der Elektrodynamik ${\displaystyle A^{\mu }={\begin{pmatrix}{\frac {\phi }{c}}\\{\vec {A}}\end{pmatrix}}}$

Vierertensoren

• Die Minkowskimetrik (die Metrik eines flachen Raumes) ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$
• Der Feldstärketensor der Elektrodynamik ${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$
• Dualer Feldstärketensor der Elektrodynamik ${\displaystyle {\hat {F}}^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }}$

Einzelnachweise

1. Albert Einstein: Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Vieweg+ Teubner Verlag, Wiesbaden 1922, S. 26–50.