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Lateinisches Quadrat
quadratisches Schema mit n Reihen und n Spalten / aus Wikipedia, der freien encyclopedia
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Ein lateinisches Quadrat ist ein quadratisches Schema mit Zeilen und
Spalten, wobei jedes Feld mit einem von
verschiedenen Symbolen belegt ist, so dass jedes Symbol in jeder Zeile und in jeder Spalte jeweils genau einmal auftritt. Die natürliche Zahl
wird Ordnung des lateinischen Quadrats genannt.
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Als Symbole werden häufig die Zahlen von bis
, oder
verschiedene Buchstaben oder auch
verschiedene Farben verwendet. Der Mathematiker Leonhard Euler befasste sich intensiv mit solchen Quadraten; als Symbolmenge benutzte er das lateinische Alphabet. Der Name lateinisches Quadrat geht darauf zurück.
In der modernen Kombinatorik und der diskreten Mathematik werden als Symbolmenge überwiegend die Zahlen von bis
, seltener die Zahlen von
bis
verwendet, und das Schema wird als spezielle
-Matrix betrachtet.
Jedes lateinische Quadrat kann als Verknüpfungstafel (Cayley-Tafel) einer endlichen Quasigruppe aufgefasst werden, umgekehrt bestimmt jede endliche Quasigruppe eine Äquivalenzklasse von lateinischen Quadraten.
Zwei verschiedene lateinische Quadrate derselben Ordnung können orthogonal zueinander sein. In der synthetischen Geometrie werden bestimmten Mengen von paarweise orthogonalen lateinischen Quadraten der Ordnung
endliche affine Ebenen zugeordnet. Daraus ergibt sich dort eine notwendige und hinreichende kombinatorische Bedingung für die Existenz von Ebenen der Ordnung
: Eine solche Ebene existiert genau dann, wenn es eine vollständige Liste paarweise orthogonaler Quadrate der Ordnung
gibt.
Außerhalb der Mathematik im engeren Sinn werden lateinische Quadrate unter anderem in der agrarwissenschaftlichen Versuchsplanung als Blockanlagen und der statistischen Versuchsplanung angewendet.[1][2]