Hyperbolische Ebene

Die hyperbolische Ebene ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Geometrie, genauer aus der Hyperbolischen Geometrie. Dieses geometrische Objekt gehört neben der euklidischen Ebene und der Sphäre zu den Modellräumen der Flächentheorie. Denn sie hat die konstante Gauß- beziehungsweise Schnittkrümmung ${\displaystyle -1}$. Der euklidische Raum hat Krümmung ${\displaystyle 0}$ und die Sphäre die Krümmung ${\displaystyle 1}$. Im Gegensatz zu diesen beiden Räumen kann die hyperbolische Ebene als Ganzes nicht in den euklidischen Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ eingebettet werden.^[1]

Flächen mit konstanter Krümmung im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, von links nach rechts: Rotationsfläche mit negativer Krümmung (ein begrenzter Teil einer hyperbolischen Ebene), Zylinder mit Krümmung null und Sphäre mit positiver Krümmung.

Definition

Die hyperbolische Ebene ist definiert als der 2-dimensionale hyperbolische Raum ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$, also als eine zweidimensionale, einfach zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant ${\displaystyle -1}$.

Man kann die hyperbolische Ebene mit dem poincaréschen Halbraum-Modell charakterisieren. Stattet man also die Halbebene ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y>0\}}$ mit der Metrik ${\displaystyle g=y^{-2}(\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2})}$ aus, so erhält man die hyperbolische Ebene.^[1]

Im Sinne des Erlanger Programms lässt sich die hyperbolische Ebene interpretieren als die Geometrie des Paares ${\displaystyle (SL(2,\mathbb {R} ),SO(2))}$.

Axiomatisch charakterisieren lässt sich die hyperbolische Ebene dadurch, dass sie mit Ausnahme des Parallelenaxioms alle Axiome der euklidischen Geometrie erfüllt und zusätzlich noch das Axiom, dass es zu einer Geraden g und einem Punkt P (der nicht auf g liegt) mindestens zwei Geraden (h und i) gibt, die durch P gehen und zu g parallel (d. h. disjunkt) sind.

Andere Verwendungen des Begriffs Hyperbolische Ebene

• In der Inzidenzgeometrie ist eine (endliche) hyperbolische Ebene eine (endliche) Menge von "Punkten" H mit gewissen Teilmengen als "Geraden", die folgende Axiome erfüllen:

1. je zwei unterschiedliche Punkte gehören zu genau einer Geraden,

2. wenn ein Punkt P nicht zu einer Geraden l gehört, dann gibt es mindestens zwei zu l disjunkte P enthaltende Geraden,

3. wenn eine Menge von Punkten S drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte enthält sowie alle Punkte auf Geraden durch je zwei in S liegende Punkte enthält, dann ist S=H.

• In der Theorie der Symmetrischen Räume gibt es neben der (in diesem Zusammenhang als reell-hyperbolische Ebene bezeichneten) hyperbolischen Ebene noch die komplex-hyperbolische, quaternionisch-hyperbolische und Cayley-hyperbolische Ebene.
• In den Arbeiten von Helmut Karzel und seinen Schülern bezeichnet „Hyperbolische Ebene“ einen angeordneten Inzidenzraum mit einer Kongruenzrelation, der bestimmte Axiome erfüllt. Dieser Begriff axiomatisiert die Anordnungs- und Inzidenzeigenschaften der oben definierten Hyperbolischen Ebene, ohne auf ihre Metrik bezugzunehmen.
• Der 2-dimensionale quadratische Raum ${\displaystyle (V,q)}$ mit ${\displaystyle q(x,y)=xy}$ wird als hyperbolische Ebene bezeichnet. Diese Definition steht in keinem direkten Zusammenhang mit der oben definierten.

Weblinks

Commons: Models of the hyperbolic plane – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

1. John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 7, 38.