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Das Extensionalitätsaxiom ist ein Axiom der Mengenlehre, das 1888 von Richard Dedekind formuliert wurde und besagt, dass zwei Klassen oder Mengen genau dann gleich sind, wenn sie dieselben Elemente haben.[1] Von Dedekind übernahm Ernst Zermelo das Extensionalitätsaxiom in die erste axiomatische Mengenlehre, die Zermelo-Mengenlehre von 1907.[2] Von dort aus kam es in die erweiterte Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF und alle späteren Versionen der axiomatischen Mengenlehre.
In der heute maßgeblichen prädikatenlogischen Form der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF, in der alle Objekte Mengen sind, lautet das Extensionalitätsaxiom formal:
In Mengenlehren mit Urelementen werden die Variablen auf Mengen eingeschränkt, etwa in ZFU:
In Mengenlehren mit Klassen wird das Extensionalitätsaxiom allgemeiner mit freien Klassenvariablen gebraucht, etwa in der Ackermann-Mengenlehre oder in der Klassenlogik:
Das Extensionalitätsaxiom garantiert die Eindeutigkeit einer Klasse oder Menge , deren Elemente durch eine Eigenschaft ihrer Elemente beschrieben wird, also durch eine Bedingung der Form
Mit dem Extensionalitätsaxiom und dem üblichen Abstraktionsprinzip folgt daraus dann die Gleichheit:
Diese Eindeutigkeit ergibt sich insbesondere für die im Leermengenaxiom, Paarmengenaxiom, Potenzmengenaxiom, Vereinigungsaxiom, Aussonderungsaxiom, Ersetzungsaxiom geforderten Mengen und erlaubt dort die Einführung der üblichen Klassenschreibweisen.
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