Euler-Mascheroni-Konstante

Die Euler-Mascheroni-Konstante (nach den Mathematikern Leonhard Euler und Lorenzo Mascheroni), auch Eulersche Konstante, ist eine wichtige mathematische Konstante, die besonders in den Bereichen Zahlentheorie und Analysis auftritt. Sie wird mit dem griechischen Buchstaben ${\displaystyle \gamma }$ (Gamma) bezeichnet.

Die blaue Fläche stellt die Eulersche Konstante dar.

Eulersche Konstante ist eine Weiterleitung auf diesen Artikel. Zu anderen nach Euler benannten Zahlen siehe Eulersche Zahlen (Begriffsklärung).

${\displaystyle \gamma }$

Ihre Definition lautet:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n\right)=\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,\mathrm {d} x,}$

wobei ${\displaystyle H_{n}}$ die ${\displaystyle n}$-te harmonische Zahl, ${\displaystyle \ln }$ den natürlichen Logarithmus und ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ die Abrundungsfunktion bezeichnet.

Ihr numerischer Wert ist auf 100 dezimale Nachkommastellen genau (Folge A001620 in OEIS):

γ = 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495 …

Mit Stand vom September 2023, Berechnung abgeschlossen am 7. September 2023, sind 1.337.000.000.000 dezimale Nachkommastellen bekannt.^[1]

Allgemeines

Trotz großer Anstrengungen ist bis heute unbekannt, ob diese Zahl rational oder irrational, ob sie algebraisch oder transzendent ist.^[2] Es wird aber stark vermutet, dass sie zumindest eine irrationale Zahl ist. Den ersten konkreten Beweisversuch hierzu unternahm 1926 Paul Émile Appell mit Hilfe der unten genannten Entwicklung von Joseph Ser. Durch Berechnung der Kettenbruchentwicklung von ${\displaystyle \gamma }$ (Folge A002852 in OEIS)

${\displaystyle \gamma =\left[0;\ 1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,1,8,1,2,4,1,1,40,1,11,3,7,1,7,1,1,5,1,49,4,1,65,1,4,7,11,1,399,2,1,3,2,1,2,1,5,3,2,1,\,\dotsc \right]}$

erhält man untere Schranken für positive ganze Zahlen ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ mit ${\displaystyle \gamma ={\tfrac {p}{q}}}$ (zum Beispiel ergeben 475.006 Teilnenner die Abschätzung ${\displaystyle q>10^{244.663}}$).^[3]

Im Gegensatz zu Quadratwurzeln aus rationalen Zahlen beim Satz des Pythagoras und zur Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ bei Umfang und Fläche eines Kreises mit rationalem Radius tritt die Eulersche Konstante bei endlichen elementargeometrischen Problemen nicht auf. Es gibt jedoch viele technische Probleme, die auf die Summierung der endlichen harmonischen Reihe ${\displaystyle H_{n}}$ führen, wie etwa das Schwerpunktproblem des freitragenden Auslegers oder das Problem der optimalen Sitzreihen-Erhöhung in Theatern und Kinos. Die Eulersche Konstante tritt bei vielen Problemen der Analysis, Zahlentheorie und Funktionentheorie und insbesondere bei speziellen Funktionen auf.

Die Euler-Mascheroni-Konstante in mathematischen Problemen

Die Eulersche Konstante tritt in der Mathematik häufig und manchmal auch ganz unerwartet in unterschiedlichen Teilgebieten auf. Hauptsächlich tritt sie bei Grenzwertprozessen von Zahlenfolgen und Funktionen sowie bei Grenzwerten der Differential- und Integralrechnung auf. Das Auftreten lässt sich (wie auch bei anderen mathematischen Konstanten) je nach Art des Grenzwertes oder der Reihenentwicklung unterteilen.

Konvergenz

Die Existenz der Eulerschen Konstanten ergibt sich aus der Teleskopsumme

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n+1)\right]=\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln {\biggl (}{\frac {k+1}{k}}{\biggr )}\right]}$

Da ${\displaystyle \ln(n+1)-\ln(n)}$ eine Nullfolge ist, kann im definierenden Grenzwert ${\displaystyle \ln(n+1)}$ anstelle von ${\displaystyle \ln(n)}$ verwendet werden. Es gilt

${\displaystyle {\frac {1}{k}}-\ln {\frac {k+1}{k}}={\frac {1}{k}}-\int _{k}^{k+1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=\int _{k}^{k+1}{\frac {x-k}{xk}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{k}}\int _{0}^{1}{\frac {x}{x+k}}\,\mathrm {d} x.}$

Wegen

${\displaystyle {\frac {1}{2(k+1)}}=\int _{0}^{1}{\frac {x}{1+k}}\,\mathrm {d} x\leq \int _{0}^{1}{\frac {x}{x+k}}\,\mathrm {d} x\leq \int _{0}^{1}{\frac {x}{k}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2k}}}$

gilt also

${\displaystyle {\frac {1}{2k\cdot (k+1)}}\leq {\frac {1}{k}}-\ln {\frac {k+1}{k}}\leq {\frac {1}{2k^{2}}}}$

und somit konvergiert die Summe gemäß dem Majorantenkriterium.

Insbesondere folgt aus diesem elementaren Argument und

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\cdot (k+1)}}=\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)=1}$

sowie dem Basler Problem, dass

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\leq \gamma \leq {\frac {\pi ^{2}}{12}}}$

gilt.

Zetafunktion und Gammafunktion

Der Wert ${\displaystyle \gamma }$ ist das Negative der Ableitung der Gammafunktion an der Stelle 1, also

${\displaystyle \Gamma ^{\prime }(1)=\psi (1)=-\gamma }$.

Hieraus ergeben sich die folgenden Grenzwertdarstellungen, wobei ${\displaystyle \zeta (s)}$ die Riemannsche Zeta-Funktion und ${\displaystyle \psi (z)}$ die Digamma-Funktion bezeichnet:

${\displaystyle \lim _{s\to 1}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)=\gamma }$

${\displaystyle \lim _{z\to 0}\left\{\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right\}=\lim _{z\to 0}\left\{\psi (z)+{\frac {1}{z}}\right\}=-\gamma }$

${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right\}=2\gamma }$

${\displaystyle \lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left\{{\frac {1}{\psi (1-z)}}-{\frac {1}{\psi (1+z)}}\right\}={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}}$

Die Euler-Mascheroni-Konstante taucht oft in Entwicklungen spezieller Funktionen, z. B. bei der Reihenentwicklung des Integrallogarithmus von Leopold Schendel, der Besselfunktionen oder der Weierstraßschen Darstellung der Gammafunktion auf.

Liste bestimmter Integrale

Hier gibt es eine reichhaltige Fülle, zum Beispiel:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int _{0}^{1}\ln(-\ln x)\,\mathrm {d} x\\\gamma &=-\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln x\,\mathrm {d} x\\\gamma &=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)\,\mathrm {d} x\\\gamma &=\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)\,\mathrm {d} x\\\gamma &={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {2x}{(x^{2}+1)(e^{2\pi x}-1)}}\,\mathrm {d} x\\\gamma &={\frac {\ln(2)}{2}}+{\frac {1}{\ln(2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(x)-x\ln(x^{2}+1)}{2(x^{2}+1)\sinh(\pi x)}}\,\mathrm {d} x\\\gamma &=\int _{0}^{\infty }{\biggl [}\exp(x)\mathrm {E} _{1}(x)-{\frac {1}{x+1}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} x\\\gamma &=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}{\biggl [}{\frac {1}{x+1}}-\exp(-x){\biggr ]}\,\mathrm {d} x\\\gamma &=\int _{0}^{\infty }{\frac {2}{x}}{\bigl [}\exp(-x^{2})-\exp(-x){\bigr ]}\,\mathrm {d} x\\\gamma &=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2x}}{\bigl [}\exp(x^{2})\operatorname {erfc} (x)+2\pi ^{-1/2}x-1{\bigr ]}{\bigl \{}\vartheta _{00}{\bigl [}\exp(-x^{2}){\bigr ]}-1{\bigr \}}\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

Oder auch:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }e^{-x}\ln ^{2}x\,\mathrm {d} x&={\frac {\pi ^{2}}{6}}+\gamma ^{2}\\\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\ln x\,\mathrm {d} x&=-{\frac {\sqrt {\pi }}{4}}(\gamma +2\ln 2)\end{aligned}}}$

Diese Integrale werden im Folgenden sukzessiv bewiesen.

Beweise der bestimmten Integrale

Beweisführung einer Zetafunktionssumme

Zu Beginn ist diese in der Einführung genannte Summe gegeben:

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{k}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {1}{k}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

Als Nächstes wird folgende Identität bewiesen:

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\zeta (2n)}{2n}}-{\frac {\zeta (2n+1)}{2n+1}}{\biggr ]}}$

Dieser Beweis kann direkt über die Definition der Riemannschen Zetafunktion zustande gebracht werden:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\zeta (2n)}{2n}}-{\frac {\zeta (2n+1)}{2n+1}}{\biggr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl (}{\frac {1}{2n}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n}}}-{\frac {1}{2n+1}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n+1}}}{\biggr )}=}$

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{2n\,k^{2n}}}-{\frac {1}{(2n+1)\,k^{2n+1}}}{\biggr ]}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{2n\,k^{2n}}}-{\frac {1}{(2n+1)\,k^{2n+1}}}{\biggr ]}=}$

${\displaystyle =\sum _{k=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{k}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {1}{k}}{\biggr )}{\biggr ]}=\gamma }$

Der letzte Rechenschritt basiert auf der Ursprungsstammfunktion von der alternierenden geometrischen Reihe:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}x^{2n-1}-x^{2n}{\bigr )}={\frac {x}{1+x}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl (}{\frac {x^{2n}}{2n}}-{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}{\biggr )}=x-\ln(1+x)}$

Durch Einsatz von ${\displaystyle x=1/k}$ in die nun genannte Formel entsteht das in der Gleichungskette gezeigte Endresultat.

Analog zur gezeigten Formel mit der Zetafunktion gilt für die Dirichletsche Etafunktion diese Formel:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\eta (2n)}{2n}}-{\frac {\eta (2n+1)}{2n+1}}{\biggr ]}=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\biggl [}{\frac {1}{k}}-\ln {\biggl (}{\frac {k+1}{k}}{\biggr )}{\biggr ]}=\ln {\bigl (}{\frac {4}{\pi }}{\bigr )}}$

Denn auf der rechten Seite in der alternierenden Differenz erscheint im Numerus des Logarithmus Naturalis das Wallissche Produkt und der Minuend in dieser alternierenden Differenz ergibt die alternierende Differenz der Kehrwerte der natürlichen Zahlen, welche der Logarithmus Naturalis von Zwei ist.

Beweisführung des Exponentialintegrals

Das drittoberste Integral in der Auflistung kann so bewiesen werden:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\exp(x)-1}}-{\frac {1}{x\exp(x)}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-x)+x-1}{x[\exp(x)-1]}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x[\exp(x)-1]}}\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}-{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}{\biggr ]}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl \{}{\frac {1}{\exp(x)-1}}{\biggl [}{\frac {x^{2n-1}}{(2n)!}}-{\frac {x^{2n}}{(2n+1)!}}{\biggr ]}{\biggr \}}\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\biggl \{}{\frac {1}{\exp(x)-1}}{\biggl [}{\frac {x^{2n-1}}{(2n)!}}-{\frac {x^{2n}}{(2n+1)!}}{\biggr ]}{\biggr \}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{(2n)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}}{\exp(x)-1}}\,\mathrm {d} x-{\frac {1}{(2n+1)!}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{\exp(x)-1}}\,\mathrm {d} x{\biggr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {(2n-1)!\,\zeta (2n)}{(2n)!}}-{\frac {(2n)!\,\zeta (2n+1)}{(2n+1)!}}{\biggr ]}=}$

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\zeta (2n)}{2n}}-{\frac {\zeta (2n+1)}{2n+1}}{\biggr ]}=\gamma }$

Bei dem Integral in der dritten Zeile der jetzt gezeigten Gleichungskette handelt es sich um den Debyeschen Funktionswert von Plus Unendlich!

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{m}}{\exp(x)-1}}\,\mathrm {d} x=m!\,\zeta (m+1)}$

Beweisführung des Integrals über den Logarithmus

Das zweitoberste Integral in der Auflistung folgt aus dieser Ableitung:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl \{}\ln[1-\exp(-x)]-{\frac {\ln(x)}{\exp(x)}}{\biggr \}}={\frac {1}{\exp(x)-1}}-{\frac {1}{x\exp(x)}}+{\frac {\ln(x)}{\exp(x)}}}$

Nach der Regel von de L’Hospital gelten folgende Grenzwerte:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{\biggl \{}\ln[1-\exp(-x)]-{\frac {\ln(x)}{\exp(x)}}{\biggr \}}=0}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty }{\biggl \{}\ln[1-\exp(-x)]-{\frac {\ln(x)}{\exp(x)}}{\biggr \}}=0}$

Somit gilt dieses Integral:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\exp(x)-1}}-{\frac {1}{x\exp(x)}}+{\frac {\ln(x)}{\exp(x)}}\mathrm {d} x=0}$

Durch Äquivalenzumformung entsteht folgende Identität:

${\displaystyle -\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln(x)}{\exp(x)}}{\text{d}}x=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\exp(x)-1}}-{\frac {1}{x\exp(x)}}\mathrm {d} x=\gamma }$

Das oberste und viertoberste Integral entstehen durch Substitution mit dem negativen natürlichen Logarithmus.

Beweisführung des Integrals über die Integralexponentialfunktion

Folgendes Integral^[4] zur Mascheroni-Konstante kann über den Satz von Fubini bewiesen werden:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left[\exp(x)\,\mathrm {E} _{1}(x)-{\frac {1}{x+1}}\right]\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y)\left({\frac {1}{x+y}}-{\frac {1}{x+1}}\right)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-y)\left({\frac {1}{x+y}}-{\frac {1}{x+1}}\right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{\infty }-\exp(-y)\ln(y)\,\mathrm {d} y=\gamma }$

Der große Buchstabe E drückt die komplementäre Integralexponentialfunktion aus:

${\displaystyle \mathrm {E} _{1}(x)=\exp(-x)\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)}{y+1}}\,\mathrm {d} y}$

Dann gilt auch:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\mathrm {E} _{1}(x)=-\,{\frac {1}{x}}\exp(-x)}$

Verallgemeinert gilt somit für die Integration:

${\displaystyle {\frac {\exp(-ax)}{bx+c}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl \{}-{\frac {1}{b}}\exp {\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}\,\mathrm {E} _{1}{\bigl [}{\frac {a}{b}}{\bigl (}bx+c{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-ax)}{bx+c}}\,\mathrm {d} x={\biggl \{}-{\frac {1}{b}}\exp {\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}\,\mathrm {E} _{1}{\bigl [}{\frac {a}{b}}{\bigl (}bx+c{\bigr )}{\bigr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=\infty }={\frac {1}{b}}\exp {\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}\,\mathrm {E} _{1}{\bigl (}{\frac {ac}{b}}{\bigr )}}$

Beweisführung des Integrals über den Kehrwert der Nachfolgerfunktion

Ebenso kann das anschließende Integral zur Mascheroni-Konstante über den Satz von Fubini bewiesen werden:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}{\biggl [}{\frac {1}{x+1}}-\exp(-x){\biggr ]}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-xy){\biggl [}{\frac {1}{x+1}}-\exp(-x){\biggr ]}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\exp(-xy){\biggl [}{\frac {1}{x+1}}-\exp(-x){\biggr ]}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{\infty }{\biggl [}\exp(y)\,\mathrm {E} _{1}(y)-{\frac {1}{y+1}}{\biggr ]}\,\mathrm {d} y=\gamma }$

Das fünftoberste und sechstoberste Integral resultiert aus der Abel-Plana-Summenformel und geht durch die Mellin-Transformation hervor.

Das zweitunterste Integral entsteht aus der Reihendarstellung der Integralexponentialfunktion Ei(x).

Und das unterste Integral entsteht direkt aus der genannten Reihe für die Euler-Mascheroni-Konstante über die Riemannsche Zetafunktion.

Beschreibung weiterer Integrale

Parameterintegrale

Es gibt auch viele invariante Parameterintegrale, zum Beispiel:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x^{k}+1}}-e^{-x}\right){\frac {\mathrm {d} x}{x}},\quad k>0\\\gamma &=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{kx+1}}-e^{-kx}\right){\frac {\mathrm {d} x}{x}},\quad k>0\end{aligned}}}$

Beide Parameterintegrale sollen im nun Folgenden bewiesen werden:

Gegeben steht das im vorherigen Abschnitt bewiesene Integral:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}{\biggl [}{\frac {1}{x+1}}-\exp(-x){\biggr ]}\,\mathrm {d} x=\gamma }$

Und folgendes Zweiparameterintegral ergibt konstant für alle positiven Werte v und w den Wert Null:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}{\biggl (}{\frac {1}{x^{v}+1}}-{\frac {1}{x^{w}+1}}{\biggr )}\,\mathrm {d} x=0}$

Wenn dieses Parameterintegral in das genannte schon bewiesene Integral eingepflanzt wird, dann entsteht direkt das erste der beiden genannten Parameterintegrale mit dem positiven k-Ausdruck. Und das genannte Zweiparameterintegral ist deswegen für alle positiven Werte v und w gültig, weil folgende Stammfunktion gilt:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{x}}{\biggl (}{\frac {1}{x^{v}+1}}-{\frac {1}{x^{w}+1}}{\biggr )}\,\mathrm {d} x={\biggl [}{\frac {1}{v}}\ln(x^{v}+1)-{\frac {1}{w}}\ln(x^{w}+1){\biggr ]}_{x=0}^{x=\infty }=}$

${\displaystyle ={\biggl [}\ln {\bigl (}{\sqrt[{v}]{x^{v}+1}}{\bigr )}-\ln {\bigl (}{\sqrt[{w}]{x^{w}+1}}{\bigr )}{\biggr ]}_{x=0}^{x=\infty }=0}$

Das zweite mit dem k-Ausdruck dargestellte Parameterintegral kommt durch innere Substitution und durch die sogenannte Nachdifferenzierung nach der Kettenregel zustande.

Forschungsresultate des Mathematikers Sondow

Man kann ${\displaystyle \gamma }$ auch als ein Doppelintegral (J. Sondow 2003^[5], 2005^[6]) mit der äquivalenten Reihe ausdrücken:

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-xy)\ln(xy)}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right)}$.

Es gibt einen interessanten Vergleich (J. Sondow 2005) des Doppelintegrals und der alternierenden Reihe:

${\displaystyle \ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+xy)\ln(xy)}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right)}$.

In diesem Sinne kann man sagen, dass ${\displaystyle \ln {\big (}{\tfrac {4}{\pi }}{\big )}}$ die „alternierende Eulersche Konstante“ ist (Folge A094640 in OEIS).

Ein weiteres Doppelintegral handelt von der harmonischen Reihe als Funktion:

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{y}}{1-x}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}H(y)\,\mathrm {d} y}$

Außerdem sind diese zwei Konstanten mit dem Paar

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}=\gamma ,}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)-N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}=\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)}$

von Reihen verknüpft, wobei ${\displaystyle N_{1}(n)}$ und ${\displaystyle N_{0}(n)}$ die Anzahl der Einsen bzw. der Nullen in der Binärentwicklung von ${\displaystyle n}$ sind (Sondow 2010^[7]).

Produktreihen

Ferner gibt es eine ebenso reichhaltige Fülle an unendlichen Summen und Produkten, etwa

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\gamma }&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\ln n}}\prod _{p\leq n,p{\text{ prim}}}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)^{-1}\\{\frac {6}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\ln n}}\prod _{p\leq n,p{\text{ prim}}}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)\\\gamma &=\lim _{x\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{x}}}-{\frac {1}{x^{n}}}\right).\end{aligned}}}$

Diese Reihen bilden somit zu den Eulerschen Produktdarstellungen von der Riemannschen Zetafunktion eine Abwandlung.

Kummersche Reihen

Reihen mit rationalen Termen stammen von Euler, Fontana and Mascheroni, Giovanni Enrico Eugenio Vacca, S. Ramanujan und Joseph Ser. An Reihen mit irrationalen Gliedern gibt es unzählige Variationen, deren Glieder aus rational gewichteten Werten der riemannschen Zeta-Funktion an den ungeraden Argumentstellen ζ(3), ζ(5), … bestehen. Ein Beispiel einer besonders schnell konvergierenden Reihe ist:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n+1)-1}{(2n+1)2^{2n}}}=1+\ln 2-\ln 3-\gamma =}$ 0,0173192269903…

Eine weitere Reihe ergibt sich aus der Kummerschen Reihe der Gammafunktion:

${\displaystyle \gamma =\ln \pi -4\ln \Gamma {\big (}{\tfrac {3}{4}}{\big )}+{\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\ln(2k+1)}{2k+1}}}$

Bezeichnungen

Man kann sagen, dass die Eulersche Konstante diejenige Konstante mit den meisten Bezeichnungen ist. Euler selbst bezeichnete sie mit C und gelegentlich mit O oder n. Es ist jedoch zweifelhaft, ob er damit ein eigenständiges Symbol für seine Konstante einführen wollte. Mascheroni bezeichnete die Konstante nicht – wie oft behauptet – mit γ, sondern mit A. Das γ-Missverständnis rührt von dem häufig unüberprüft zitierten Artikel von J. W. L. Glaisher her (wobei Glaisher dort ausdrücklich anmerkt, dass er Mascheronis Buch nicht gesehen hat):

“Euler’s constant (which throughout this note will be called γ after Mascheroni, De Morgan, &c.) […]
It is clearly convenient that the constant should generally be denoted by the same letter. Euler used C and O for it; Legendre, Lindman, &c., C; De Haan A; and Mascheroni, De Morgan, Boole, &c., have written it γ, which is clearly the most suitable, if it is to have a distinctive letter assigned to it. It has sometimes (as in Crelle, t. 57, p. 128) been quoted as Mascheroni’s constant, but it is evident that Euler’s labours have abundantly justified his claim to its being named after him.”

– J. W. L. Glaisher: On the history of Euler’s constant, 1872, S. 25 und 30^[8]

Andere Mathematiker verwenden die Bezeichnungen C, c, ℭ, H, γ, E, K, M, l. Der Ursprung der heute üblichen Bezeichnung γ ist nicht sicher. Carl Anton Bretschneider verwendete die Bezeichnung γ neben c in einem 1835 entstandenen und 1837 veröffentlichten Artikel,^[9] Augustus De Morgan führte die Bezeichnung γ in einem in Teilen von 1836 bis 1842 veröffentlichten Lehrbuch im Rahmen der Behandlung der Gammafunktion ein.^[10]

Verallgemeinerungen

Stieltjes-Konstanten

Die Eulersche Konstante kennt mehrere Verallgemeinerungen. Die wichtigste und bekannteste ist die der Stieltjes-Konstanten:

${\displaystyle \gamma _{n}:=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{N}{\frac {\log ^{n}k}{k}}-{\frac {\log ^{n+1}N}{n+1}}\right),\quad n=0,1,2,\dotsc }$

Die Euler-Mascheroni-Konstante ${\displaystyle \gamma =\gamma _{0}}$ ergibt sich für ${\displaystyle n=0}$:

${\displaystyle \gamma$ :=\lim _{N\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{N}{\frac {1}{k}}-{\log N}\right)}

Fakultät und Gammafunktion

Gegeben war diese Summendefinition für die Euler-Mascheroni-Konstante:

${\displaystyle \gamma =\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{n}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {1}{n}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

Verallgemeinert gelten diese beiden zueinander identischen Ausdrücke:

${\displaystyle \gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {x}{n}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {x}{n}}{\biggr )}{\biggr ]}}$ ${\displaystyle \gamma \,x+\ln {\bigl [}\Gamma (x+1){\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {x}{n}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {x}{n}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

Beispielsweise gilt:

${\displaystyle {\frac {\gamma }{2}}-{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)={\frac {\gamma }{2}}+\ln \left[\Pi \left({\frac {1}{2}}\right)\right]=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{2n}}-\ln {\biggl (}1+{\frac {1}{2n}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

Die im Kästchen genannten Verallgemeinerungsformeln gehen direkt aus der Weierstraßschen Definition der Harmonischen Reihenfunktion hervor:

${\displaystyle \mathrm {H} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}\right)}$

Denn durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x entstehen die beiden Formeln im Kästchen.

Folgende Ableitungsgesetze sind gültig:

${\displaystyle \mathrm {H} (x)=\gamma +{\frac {1}{\Pi (x)}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\Pi (x)}$

${\displaystyle \mathrm {H} (x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigl \{}\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}{\bigr \}}}$

${\displaystyle \mathrm {H} (x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigl \{}\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Gamma (x+1){\bigr ]}{\bigr \}}}$

Die kontinuierliche Fakultätsfunktion ist gleich der Gaussschen Pifunktion.

Und die Gaußsche Pifunktion ergibt sich als Gammafunktion aus der Nachfolgerfunktion.

So lautet die Produktreihendefinition nach Weierstraß für diese berühmte Funktion:

${\displaystyle x!=\Pi (x)=\Gamma (x+1)=\exp(-\,\gamma \,x)\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}\exp \left({\frac {x}{n}}\right)\right]}$

Aus den genannten Verallgemeinerungsformeln folgt auch:

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\zeta (2m)}{2m}}\,x^{2m}-{\frac {\zeta (2m+1)}{2m+1}}\,x^{2m+1}{\biggr ]}=\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}}$

Beispielsweise gilt:

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {\zeta (2m)}{2m\,2^{2m}}}-{\frac {\zeta (2m+1)}{(2m+1)\,2^{2m+1}}}{\biggr ]}={\frac {\gamma }{2}}-{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)}$

Und aus diesen Summen folgt nach dem ebenso:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-xy)+xy-1}{y\,{\bigl [}\exp(y)-1{\bigr ]}}}\,\mathrm {d} y=\gamma \,x+\ln \left[\Pi (x)\right]}$

Beispielsweise gilt:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-y/2)+y/2-1}{y\,{\bigl [}\exp(y)-1{\bigr ]}}}\,\mathrm {d} y={\frac {\gamma }{2}}-{\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)}$

Anzahl berechneter Dezimalstellen

1734 berechnete Leonhard Euler sechs Dezimalstellen (fünf gültige), später 16 Stellen (15 gültige). 1790 berechnete Lorenzo Mascheroni 32 Dezimalstellen (30 gültige), wovon jedoch die drei Stellen 20 bis 22 falsch sind – anscheinend aufgrund eines Schreibfehlers, sie sind allerdings mehrfach im Buch angegeben. Der Fehler war Anlass für mehrere Neuberechnungen.

Anzahl veröffentlichter gültiger Dezimalstellen von γ

Jahr	Stellen	Autor		Jahr/Datum	Stellen	Autor
1734	5	Leonhard Euler[11]		1976	20.700	Richard P. Brent[12]
1735	15	Leonhard Euler[13]		1979	30.100	Richard P. Brent & Edwin M. McMillan[14]
1790	19	Lorenzo Mascheroni[15]		1993	172.000	Jonathan Borwein
1809	22	Johann Georg Soldner[16]		1997	1.000.000	Thomas Papanikolaou
1811	22	Carl Friedrich Gauß[17]		1998	7.286.255	Xavier Gourdon
1812	40	Friedrich Bernhard Gottfried Nicolai[17]		1999	108.000.000	Xavier Gourdon & Patrick Demichel
1826	19	Adrien-Marie Legendre[18]		8. Dez. 2006	116.580.041	Alexander J. Yee & Raymond Chan[19]
1857	34	Christian Fredrik Lindman[20]		18. Jan. 2009	14.922.244.771	Alexander J. Yee & Raymond Chan[1]
1861	41	Ludwig Oettinger[21]		13. März 2009	29.844.489.545	Alexander J. Yee & Raymond Chan[1]
1867	49	William Shanks[22]		22. Dez. 2013	119.377.958.182	Alexander J. Yee[1]
1871	99	J. W. L. Glaisher[23]		15. März 2016	160.000.000.000	Peter Trueb[1]
1871	101	William Shanks[24]		18. Mai 2016	250.000.000.000	Ron Watkins[1]
1877	262	John Couch Adams[25]		23. Aug. 2017	477.511.832.674	Ron Watkins[1]
1952	328	John William Wrench, Jr.[26]		26. Mai 2020	600.000.000.100	Seungmin Kim & Ian Cutress[1]
1961	1050	Helmut Fischer & Karl Zeller[27]		13. Mai 2023	700.000.000.000	Jordan Ranous & Kevin O’Brien[1]
1962	1270	Donald E. Knuth[28]		7. September 2023	1.337.000.000.000	Andrew Sun[1]
1962	3566	Dura W. Sweeney[29]
1973	4879	William A. Beyer & Michael S. Waterman[30]

Siehe auch

• Meissel-Mertens-Konstante – Primzahl-Analogon zur Euler-Mascheroni-Konstante

Literatur

• M. Lerch: Expressions nouvelles de la constante d’Euler (9. Juli 1897), Sitzungsberichte der königl. böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften. Mathematisch-naturwissenschaftliche Classe, 1897, XLII S. 1–5 (französisch; Jahrbuch-Bericht)
• Jonathan Sondow: Criteria for irrationality of Euler’s constant (4. Juni 2002), Proceedings of the AMS 131, November 2003, S. 3335–3344 (englisch; Zentralblatt-Bericht)
• Steven R. Finch: Euler-Mascheroni constant, γ, Kapitel 1.5 in Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 28–40 (englisch; Zentralblatt-Rezension; Finchs Webseite zum Buch mit Errata und Addenda: Mathematical Constants)
• Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg / New York 2007, ISBN 978-3-540-48495-0, doi:10.1007/978-3-540-48496-7 (aus dem Englischen übersetzt von Manfred Stern, Zentralblatt-Rezension).
• Thomas P. Dence, Joseph B. Dence: A survey of Euler’s constant (PDF-Datei, 432 kB), Mathematics Magazine 82, Oktober 2009, S. 255–265 (englisch)
• Jeffrey C. Lagarias: Euler’s constant: Euler’s work and modern developments, Bulletin AMS, Band 50, 2013, S. 527–628, arxiv:1303.1856 [math.NT], 2013 (englisch)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Euler-Mascheroni Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A053977 in OEIS (Engel-Entwicklung von γ)
• Folge A006284 in OEIS (Pierce-Entwicklung von γ)
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah: The Euler constant: γ auf Numbers, constants and computation, 14. April 2004 (englisch)

Einzelnachweise

1. Alexander Yee: Records set by y-cruncher. In: numberworld.org. Abgerufen am 7. April 2024 (englisch).
2. Thomas Jagau: Is the Euler-Mascheroni constant an irrational number? Question of the Week. In: junq.info. Journal of Unsolved Questions, 11. Mai 2011, abgerufen am 7. April 2024 (englisch).
3. Bruno Haible, Thomas Papanikolaou: Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers. (PDF; 196 kB) In: ginac.de. 1997, abgerufen am 7. April 2024 (englisch).
4. calculus - Some integral representations of the Euler–Mascheroni constant. In: math.stackexchange.com. Abgerufen am 7. April 2024 (englisch).
5. Jonathan Sondow: Criteria for irrationality of Euler’s constant, Proceedings of the American Mathematical Society 131, 2003, S. 3335–3344 (englisch)
6. Jonathan Sondow: Double integrals for Euler’s constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas’s formula, American Mathematical Monthly 112, 2005, S. 61–65 (englisch)
7. Jonathan Sondow: New Vacca-type rational series for Euler’s constant and its “alternating” analog ln 4/π, Additive Number Theory, Festschrift In Honor of the Sixtieth Birthday of Melvyn B. Nathanson, Springer, New York, 2010, S. 331–340 (englisch)
8. J. W. L. Glaisher: On the history of Euler’s constant. In: The Messenger of Mathematics. Band 1, 1872, S. 25–30 (englisch, archive.org [abgerufen am 7. April 2024]).
9. Car. Ant. Bretschneider: Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova (13. Oktober 1835). Journal für die reine und angewandte Mathematik 17, 1837, S. 257–285. (lateinisch; „γ = c = 0,577215 664901 532860 618112 090082 3…“ auf S. 260.)
10. Augustus De Morgan: The differential and integral calculus, Baldwin and Craddock, London 1836–1842 (englisch; „γ“ auf S. 578.)
11. Leonh. Eulero: De progressionibus harmonicis observationes (11. März 1734), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 7, 1740, S. 150–161 (lateinisch; „C = 0,577218“ auf S. 157)
12. Richard P. Brent: Computation of the regular continued fraction for Euler’s constant (27. September 1976), Mathematics of Computation 31, 1977, S. 771–777 (englisch)
13. Leonh. Eulero: Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13. Oktober 1735), Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 8, 1741, S. 9–22 (lateinisch; „constans illa addita = 0,5772156649015329“ auf S. 19)
14. Richard P. Brent, Edwin M. McMillan: Some new algorithms for high-precision computation of Euler’s constant (22. Januar/15. Mai 1979), Mathematics of Computation 34, 1980, S. 305–312 (englisch)
15. Laurentio Mascheronio: Adnotationes ad calculum integralem Euleri / In quibus nonnulla Problemata ab Eulero proposita resolvuntur. Petrus Galeatius, Ticini 1790–1792 (lateinisch; „A = 0,577215 664901 532860 618112 090082 39“ auf S. 23 und S. 45)
16. J. Soldner: Théorie et tables d’une nouvelle fonction transcendante, Lindauer, München 1809 (französisch; „H = 0,5772156649015328606065“ auf S. 13)
17. Carolus Fridericus Gauss: Disquisitiones generales circa seriem infinitam Pars I (30. Januar 1812), Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis recentiores 2 (classis mathematicae), 1813, S. 3–46 (lateinisch; „ψ₀ = −0,5772156649 0153286060 653“ und „ψ₀ = −0,5772156649 0153286060 6512090082 4024310421“ auf S. 36; auch in Gauß: Werke. Band 3, S. 154)
18. A. M. Legendre: Traité des fonctions elliptiques et des intégrales Eulériennes (Band 2), Huzard-Courcier, Paris 1826, S. 434 (französisch)
19. Alexander Jih-Hing Yee: Euler-Mascheroni Constant - 116 million digits on a laptop. Abgerufen am 20. März 2020 (englisch).
20. Christiano Fr. Lindman: De vero valore constantis, quae in logarithmo integrali occurit, Archiv der Mathematik und Physik 29, 1857, S. 238–240 (lateinisch)
21. L. Oettinger: Ueber die richtige Werthbestimmung der Constante des Integrallogarithmus (Oktober 1861), Journal für die reine und angewandte Mathematik 60, 1862, S. 375–376
22. William Shanks: On the calculation of the numerical value of Euler’s constant, which Professor Price, of Oxford, calls E (28. März/9. April/29. August 1867/14. Juni 1869), Proceedings of the Royal Society of London 15, 1867, S. 429–431 431–432; 16, 1868, S. 154; 18, 1870, S. 49 (englisch)
23. J. W. L. Glaisher: On the calculation of Euler’s constant (6./14. Juni 1871), Proceedings of the Royal Society of London 19, 1871, S. 514–524 (englisch)
24. William Shanks: On the numerical value of Euler’s constant, and on the summation of the harmonic series employed in obtaining such value (30. August 1871), Proceedings of the Royal Society of London 20, 1872, S. 29–34 (englisch)
25. J. C. Adams: Note on the value of Euler’s constant; likewise on the values of the Napierian logarithms of 2, 3, 5, 7, and 10, and of the modulus of common logarithms, all carried to 260 places of decimals (6. Dezember 1877), Proceedings of the Royal Society of London 27, 1878, S. 88–94 (englisch)
26. J. W. Wrench, Jr.: Note 141. A new calculation of Euler’s constant, Mathematical tables and other aids to computation 6, Oktober 1952, S. 255 (englisch)
27. H. Fischer, K. Zeller: Bernoullische Zahlen und Eulersche Konstante, Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik 41 (Sonderheft), 1961, S. T71–T72 (zbmath.org)
28. Donald E. Knuth: Euler’s constant to 1271 places (12. Januar 1962), Mathematics of Computation 16, 1962, S. 275–281 (englisch)
29. Dura W. Sweeney: On the computation of Euler’s constant (29. Juni 1962), Mathematics of Computation 17, 1963, S. 170–178 (englisch)
30. W. A. Beyer, M. S. Waterman: Error analysis of a computation of Euler’s constant (26. Juni 1973), Mathematics of Computation 28, 1974, S. 599–604 (englisch)

Normdaten (Sachbegriff): GND: 4227778-4 (lobid, OGND)