Mandelbulb

Mandelbulb (Mandelpære) er navnet på en tredimensionel analogi til Mandelbrotmængden konstrueret af Daniel White og Paul Nylander ved hjælp af sfæriske koordinater.^[1]

Et ray-traced billede af 3D Mandelbulb for iterationen: ${\displaystyle z\mapsto z^{8}+c}$

Der eksisterer ikke en kanonisk 3D mandelbrotmængde, eftersom der ikke findes en 3D analogi til de komplekse tals 2-dimensionelle rum. Det er muligt at fremstille mandelbrotmængden i fire dimensioner ved at benytte kvaternioner. Desværre udviser denne mængde ikke nogen nævneværdig detalje på alle skalaer, ligesom 2D-mandelbrotmængden gør det.

Daniel White's og Paul Nylanders idé var, med udgangspunkt i fremstillingen af den traditionelle mandelbrotmængde set i et geometrisk perspektiv, at udvide processen fra 2D til 3D. For at fremstille et billede af mandelbrotmængden itereres funktionen: z² + c (hvor z og c er komplekse tal). Geometrisk set, er det det samme som, for ethvert punkt c i planen, at fordoble vinklen (en rotation) til punktet regnet fra origo (0,0) og kvadrere afstanden (en skalering) og derefter flytte punktet afstanden c (en translation). Dette nye punkt kaldes z og processen gentages indtil, enten afstanden til centrum bliver større end 2 (c tihører ikke mandelbrotmængden) eller til man når et på forhånd fastsat antal iterationer, idet et tal i mandelbrotmængden ville udløse en uendelig iteration. Det centrale i White's og Nylanders idé er så at udvide rotationen til ikke kun at foregå i 2D men til en rotation i sfæriske koordinater omkring ϕ (phi) og θ (theta).^[2]

Daniel White's formel for den n-de potens af et 3D-hyperkomplekst tal ${\displaystyle \langle x,y,z\rangle }$ er:

${\displaystyle \langle x,y,z\rangle ^{n}=r^{n}\langle \sin(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\theta )\sin(n\phi ),\cos(n\theta )\rangle }$

hvor

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\phi &=\arctan(y/x)=\arg(x+yi)\\{\rm {og\ }}\theta &=\arctan({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}/z)=\arccos(z/r).\end{aligned}}}$

Etymologi

Navnet Mandelbulb har formentlig sin oprindelse i en inspiration fra en novelle af den amerikanske; matematiker, datalog, filosof og science-fiction forfatter Rudy Rucker, "As Above, So Below" fra 2009, hvori han beskriver en kraftigt lysende UFO der har form som en tre-dimensionel mandelbrotmængde. Mao. mandelbulb er en sammentrækning af Mandelbrot og lightbulb (på dansk en el-pære).^[2][3]