Mandelbrotmængden

Mandelbrotmængden er en berømt fraktal opkaldt efter den franske matematiker Benoît B. Mandelbrot.

Billede 1a. Mandelbrotmængden, Mandelbrotfraktalen, er det sorte område. Resten kan siges at være fraktalens aura. 1b. Udsnit af øvre højre rand.

Billede 2. Ved nærmere betragtning ses, at grænsen mellem mandelbrotmængden og auraen har en yderst kompleks struktur, stedvis med kopier af den oprindelige figur i mindre skala. (Eng. "minimandels".).

Billede 3. Et stadigt tilbagevendende tema er, at der gentages et lignende mønster gang på gang i stadig mindre skala. Mønsteret forsvinder ned i "sorte huller" og desuden i serier, hvor hullerne gentages i lange rækker eller spiraler ved siden af hinanden. Mønsteret varierer også alt efter hvor stor skala, som vises.

Billede 4. I normale tilfælde testes, om absolutværdien af z er mindre end to, men det går tillige for eksempel som i billedet oven for at anvende absolutværdien af alene realdelen |(Re z = x)| < 2 eller lignende med y koordinaten. Man kan desuden addere op begge eller finde på noget andet intressant, mulighederne er mange. Sådanne variationer af fraktalen påvirker oftest ikke udseendet på mængden i nogen særlig udstrækning, men kan derimod give auraen forskellig karakter; i dette tilfælde et blomsterladslignende bølgemønster, hvor det ellers kun er jævne kurver.

Matematisk set er Mandelbrotmængden ikke vigtig, men den er vigtig for at forstå, hvordan simple formler kan frembringe komplekse strukturer.

Historie

Funktionen, som ligger bag Mandelbrotmængden, blev oprindeligt opdaget i 1905 af den franske matematiker Pierre Fatou og studeredes senere videre af hans kollega Gaston Julia, som i slutningen af 1920'erne arbejdede med metoder som itererer enkle komplekse funktioner. Julia opdagede også de med Mandelbrotmængden beslægtede Juliamængder. Fatou og Julia undersøgte først og fremmest konvergenser af bestemte parametre; Julia lavede nogle afbildninger med lav opløsning, mens vore dages bedre visualiseringer kræver mere datakraft til de omfattende beregninger.

Benoît B. Mandelbrot var ansat ved IBM og arbejdede blandt andet med at forsøge at få bugt med visse typer af støj, et kaosfænomen kaldet cantorstøv, som opstår ved datakommunikation, hvilket foranledigede ham til at eksperimentere med kaotiske forløb. Da han genopdagede Julias arbejder, havde han fordelen af at være blandt de første med adgang til den nødvendige datakraft. Der skabte han det første billede af mandelbrotmængden, en sort/hvid udskrift på papir. Han beskrev sine resultater i 1982.

Definition

Mandelbrotmængden er en mængde af punkter i den komplekse talplan, nemlig de komplekse tal c = c₁+ic₂ for hvilke den rekursive talfølge z_n, definieret af

${\displaystyle z_{n+1}=z_{n}^{2}+c,}$

ikke går mod uendelig, når startværdien er z₀ = 0.

For at beregne et billede af Mandelbrotmængden, antager man, at hvert billedpunkt modsvarer et specifikt c, hvilket genererer en specifik talfølge, og efter som et digitalt billede indeholder et endeligt antal billedpunkter, indebærer det, at et endeligt antal talfølger behøver at blive undersøgt med hensyn til divergens.

Man kan vise, at talfølgen altid divergerer, hvis den absolutte værdi (modulus) af noget z_n bliver større end 2. Eftersom det ikke er muligt at udføre et uendeligt antal iterationer på endelig tid vælges i praksis et forudbestemt, maksimalt antal iterationer, og hvis |z_n| for en specifik talfølge ikke overstiger 2 inden, at man når denne iteration, så antager man, at modsvarende c tilhører mandelbrotmængden, ellers ikke.

Formlen ovenfor er skrevet med komplekse tal, men det går tillige at udtrykke det samme med reelle tal. I stedet for det komplekse tal c undersøges da punktet (a,b), og i stedet for den komplekse talfølge z_n fås da to reelle talfølger x_n og y_n:

${\displaystyle x_{0}=0\,}$

${\displaystyle y_{0}=0\,}$

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}^{2}-y_{n}^{2}+a\,}$

${\displaystyle y_{n+1}=2x_{n}y_{n}+b\,}$

Formelens funktion

Først bestemmes hvor mange gange, funktionen skal itereres eller det maksimale beløb index^{[flertydigt link ønskes præciseret]}regneren n kan antage. Dette for at det ikke går at eksakt beregne fraktalen, men hvad der nås, er en approximation af den. Det i sin tur bero på, at visse punkter kan tage nærmere uendeligt mange iterationer på sig inden de forlader systemet, og det går jo ikke at beregne. Næste trin er at vælge et punkt (eller koordinatpar om man vil). Den modsvarer punkter i det komplekse talplanet, som skal analyseres for, hvorvidt det er et punkt i mandelbrotmængden eller ej. Siden sættes parameteren z til att pege på origo, altså nulpunktet. Også indexregneren nulstilles:

max n = præcisionsgrad   Antal iterationer
c = [a, b]            Punkterne som analyseres
z(n = 0) = [0, 0].     Nulstillet z og n

Dette er udgangssituationen, for at siden prøve om punktet c tilhører mandelbrotmængden, itereres formlen oven for og ved hver iteration testes, om absolutbeløbet af z har nået over grænseværdien som anger størrelsen på fangstmængden som bruges, i dette tilfælde er det |z| < 2,0 som er fangstmængde. Om udtrykket er sandt, så gøres næste gentagelse; i andet fald er z den for radien 2,0 og kommer garanteret at gå mod uendelighed. Om z derimod ikke går mod uendelighed, så afbrydes beregningerne når indexregneren n har nået sin maxværdi "max n" og punktet antages at være en delmængde af mandelbrotmængden. (Det betyder, at punktet ligger inden for det sorte område i billede 1a. Det store cirkelsegment, som synes lidt utydeligt længst til venstre i billedet, modsvarer |z| == 2.0, og er grænsen for, hvor z er faldet uden for fangstmængden efter den første iteration. Næste kurve i ordningen modsvarer den anden gentagelse osv.)

For at beregne absolutbeløbet af z så kvadreres x og y siden drages roden af summen:

Absolutbeløb; (to dimensioner)

    |z| = sqrt(x² + y²)

Jævnfør; Pythagoras sætning, længden på hypotenusen.

Men da |z| < max er analog med |z|² < max², så gælder tillige (x² + y²) < max², hvilket indebærer, at det går at undgå beregningsbesværet i roduddragningen og teste direkte på max², (i dette tilfælde 4,0), i stedet ^[1].

Algoritme

Nu regner det altså ikke med kun en formel, men der behøves tillige en algoritme. Algoritmens opgaver er at inddele talplanet i et rudenet, som har samme opløsning som billedfladen, som fraktalen skal vises på, udføre beregningerne og teste vilkår for fangstmængde og indexregnere og der efter gentage eller afbryde. Rudenettet modsvarer koordinaterna (c) som skal approximeres og arbejdes af punkt for punkt til hele billedet er klart. Afbrydes beregningen på grund af, at z falder uden for fangstmængden, så betyder det, at c peger på en punkt i auraen og gives da sædvanligvis en farve fra en præ-definieret palet (egentlig en tabel), så anvendes normalt den opnåede værdi for n som index, når farven hentes fra tabellen. Siden skrives punktet der i den aktuelle farve ved koordinaten c. Opnår indexregneren der imod maxværdien, så skrives vanligvis et sort punkt der for at markere, at den tilhører mandelbrotmængden.

Pseudokode (hvor operanderne er i normal tekst og operatorerne i fed stil) .

Regn b fra -2,0 til 2,0
  Regn a fra -2,0 til 2,0
    Sæt c til [a, b]
    Sæt z til [0, 0]
    Sæt n til 0
    Hvis |z| < 2 Og n < max n
      Sæt z til z² + c
      Forøg n med 1
    Gentag
    Sæt aktuel farve til n
    Skriv_pixel [a, b]
  Næste a
Næste b

I populærkultur

• Jonathan Coultons sang "Mandelbrot Set" (det engelske navn for Mandelbrotmængden) er en hyldest både til Mandelbrotmængden og Benoît Mandelbrot.
• Arthur C. Clarkes roman The Ghost from the Grand Banks nævnes en kunstig sø der er lavet i samme form som Mandelbrotmængden.
• Kuko De Kobras sang "Mandelbrot X" omhandler livets mange gentagelser set som en art fraktaler.

Billedgalleri

Zoom i en mandelbrotmængde

Zoom i mandelbrotmængden, hvor det kan ses at man kan finde mandelbrotmængden selv i mandelbrotmængden.

Animation af den generaliserede Mandelbrotmængden skrevet med formlen ${\displaystyle z\mapsto z^{d}+c.\ }$ med d fra 2 til 5.

Billede af juliamængden, på billedsiden findes en fordybelse, hvor man kan læse om teknikken, som har skabt billederne på siden.

Højopløst billede af mandelbrotmængden

Buddhabrot er en speciel rendering af mandelbrotmængden.

Wikimedia Commons har medier relateret til: Mandelbrotmængden

Se også

• Mandelbulb – et forsøg på at lave en 3D-analogi til Mandelbrotmængden

Litteratur

• Jesper Frandsen (1992). Komplekse tal og fraktaler (1. udgave). Systime. ISBN 87-7783-188-8.

Eksterne henvisninger

• Søg efter billeder på mandelbrotmængden (med google)
• Søg efter java applets hvor man kan zoome i mandelbrotmængden (med google)
• Online Fractal Explorer — En hurtig webbaseret mandelbrotudforsker. Genererede fraktaler kan spares, kommenteres og værdisættes.
• Besøg Benoît B. Mandelbrots personlige hjemmeside ved Yale University Arkiveret 22. juni 2004 hos Wayback Machine

Noter

1. (at beregne fraktaler er vældigt proceskrævende således, at intet gøres unødvendigt)