Parth y ffwythiant

O fewn y ddamcaniaeth setiau anffurfiol (mewn mathemateg), parth y ffwythiant neu'n syml, parth, yw'r set o fewnbynnau neu werthoedd argiau (argument values) sy'n diffinio'r ffwythiant. Hynny yw, mae'r ffwythiant yn darparu allbwn neu werth ar gyfer aelod o'r parth.^[1] O droi hyn ar ei sawdl: mae'r set o werthoedd mae'r ffwythiant yn ei gymryd fel allbwn yn cael ei alw'n "ddelwedd o'r ffwythiant", sydd weithiau'n cael ei alw fel "amrediad y ffwythiant".

Diagram o'r ffwythiant f' o'r parth pinc X i'r cyd-barth Y. Mae'r hirgrwn melyn o fewn Y yn dynodi delwedd o f. Gelwir y ddau, y cyd-barth a'r ddelwedd, weithiau'n "yr amrediad o f".

Er enghraifft, parth cosin yw'r set o bob rhif real; ond, dim ond y rhifau sy'n fwy na sero neu'n hafal i sero yw parth yr ail isradd, (gan anwybyddu rhifau cymhlyg yn y ddwy achos yma).

Os yw parth y ffwythiant yn is-set o rifau real, a bod y ffwythiant yn cael ei gynrychioli mewn system gyfesurynnol Cartesaidd, yna cynrychiolir y parth ar echelin-x.

Diffiniad ffurfiol

Os yw ffwythiant ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, yna'r set ${\displaystyle X}$ yw parth ${\displaystyle f}$; y set ${\displaystyle Y}$ yw cyd-barth ${\displaystyle f}$. Yn y mynegiant ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle x}$ yw'r ymresymiad a ${\displaystyle f(x)}$ yw'r gwerth. Gellir ystyried yr ymresymiad fel aelod o'r parth a ddewisir yn "fewnbwn" i'r ffwythiant, a'r gwerth yn "allbwn" pan gymhwsir y ffwythiant i'r aelod hwnnw o'r parth.

Delwedd (neu amrediad) ${\displaystyle f}$ yw'r set o bob gwerth, a dybir gan ${\displaystyle f}$ am bob ${\displaystyle x}$ posib; dyma'r set ${\displaystyle \left\{f(x)|x\in X\right\}}$. Gall delwedd ${\displaystyle f}$ fod yr un set a'r cyd-barth neu gall fod yn set briodol (proper subset) ohoni. Mae fel arfer yn llai na'r cyd-barth; hi yw'r cyd-barth os a dim ond os yw ${\displaystyle f}$ yn ffwythiant ardafliadol (surjective function).

Mae diffiniad da o ffwythiant yn mapio pob elfen o'i barth i elfen o'i gyd-barth. Er enghraifft, nid oes gan y ffwythiant ${\displaystyle f}$ sy'n cael ei ddiffinio gan

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$

unrhyw werth ar gyfer ${\displaystyle f(0)}$. Felly, ni all y set o bob rhif real, ${\displaystyle \mathbb {R} }$, fod yn barth iddi. Mewn achosion fel hyn diffinnir y ffwythiant naill ai fel ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ neu drwy ddiffinio ${\displaystyle f(0)}$ yn fwy penodol.

O ymestyn y diffiniad o ${\displaystyle f}$ i

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x&x\not =0\\0&x=0\end{cases}}}$

yna diffinnir f ar gyfer pob rhif real, a'i barth yw ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Gellir cyfyngu unrhyw ffwythiant i is-set o'i barth. Ysgrifennir y cyfyngiad ${\displaystyle g\colon A\to B}$ i ${\displaystyle S}$, lle mae ${\displaystyle S\subseteq A}$, fel ${\displaystyle \left.g\right|_{S}\colon S\to B}$.

Cyfeiriadau

1. Paley, Hiram; Weichsel, Paul M. (1966). A First Course in Abstract Algebra. Efrog Newydd: Holt, Rinehart and Winston. t. 16.