Modrwy (mathemateg)

Mewn mathemateg, mae modrwy yn un o'r strwythurau algebraidd sylfaenol a ddefnyddir mewn algebra haniaethol. Mae'n cynnwys set sydd â dau weithred deuaidd sy'n cyffredinoli gweithrediadau rhifyddol adio a lluosi. Trwy'r cyffredinoli hwn, mae theoremau rhifyddeg yn cael eu hymestyn i wrthrychau nad ydynt yn rhifiadol megis polynomialau, cyfresi, matricsau a ffwythiannau.

Mae'r fodrwy yn perthyn i "grŵp Abelaidd", gydag ail gweithrediad deuol, cysylltiol - a dosbarthol dros y weithrediadau'r grŵp Abelaidd. Mae gan y fodrwy, fel arfer, elfen unfathiant (identity element), ond nid gan bob awdur. Drwy estyniad o'r cyfanrifau, gelwir y gweithrediadau grŵp Abelaidd yn "adio" ac enw'r ail weithrediad deuaidd yn "lluosi".

Datblygwyd y cysyniad o fodrwy rhwng y 1870au a'r 1920au. Mae'r cyfranwyr allweddol yn cynnwys Dedekind, Hilbert, Fraenkel, ac Emmy Noether. Ffurfiolwyd y cysyniad yn gyntaf o fewn damcaniaeth rhifau, a modrwyau polynomial o fewn geometreg algebraidd a damcaniaeth sefydlynnau (invariant theory). Wedi hynny, bu'r cysyniad yn ddefnyddiol mewn canghennau eraill o fathemateg, megis geometreg a dadansoddiad mathemategol.

Diffiniad

Yr enghraifft enwocaf o fodrwy yw'r set o bob cyfanrif, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, sy'n cynnwys y rhifau

. . . , −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .

Mae nodweddion cyfarwydd ar gyfer adio a lluosi cyfanrifau yn gweithredu fel model ar gyfer gwirebau'r modrwyau.

Mae modrwy yn set R sydd a dau gweithrediad euaidd + ac · sy'n bodloni'r tri set o wirebau canlynol, a elwir yn "wirebau modrwy"^[1][2][3]

1. Mae R yn grŵp Abelaidd, dan adio, sy'n golygu fod:

• (a + b) + c = a + (b + c) i bob a, b, c yn R   (hynny yw, mae + yn gysylltiol).
• a + b = b + a i bob a, b yn R   (hynny yw, mae + yn gymudol (commutative).
• Ceir yr elfen 0 o fewn R fel bod a + 0 = a am bob a yn R   (hynny yw, 0 yw'r ychwanegyn unfathiant (additive identity)).
• Am bob a yn R ceir −a yn R fel bod a + (−a) = 0   (hynny yw, −a yw'r ychwanegyn gwrthdro (additive inverse) o a).

2. Monoid yw R, mewn lluosi, sy'n golygu fod:

• (a · b) · c = a · (b · c) am bob a, b, c yn R   (hynny yw, mae · yn gysylltiol).
• Ceir yr elfen 1 yn R fel bod a · 1 = a a 1 · a = a am bob a yn R   (hynny yw, 1 yw'r multiplicative identity^[4]).

3. Mae lluosi yn ddosbarthol, o ran adio:

• a ⋅ (b + c) = (a · b) + (a · c) am bob a, b, c yn R   (chwith-ddosbarthol).
• (b + c) · a = (b · a) + (c · a) am bob a, b, c yn R   (dde-ddosbarthol).

Cyfeiriadau

1. Nicolas Bourbaki (1970). "§I.8". Algebra. Springer-Verlag.
2. Saunders MacLane; Garrett Birkhoff (1967). Algebra. AMS Chelsea. t. 85.
3. Serge Lang (2002). Algebra (arg. Third). Springer-Verlag. t. 83.
4. Nid oes cyfieithiadau Cymraeg ar hyn o bryd, hyd y gwyddys