تیۆریی کۆمەڵە

تیۆریی کۆمەڵە (بە ئینگلیزی: Set theory) لقێکی لۆژیکی ماتماتیکییە کە کۆمەڵەکان تاوتوێ دەکات. بە گشتی کۆمەڵەکان دەتوانن ھەر شتێک بن، بەڵام لە تیۆریی کۆمەڵەکاندا، زۆرتری ئەو شتانەی بەکار دێن شتە ماتماتیکییەکانن. زمانی تیۆریی کۆمەڵەکان دەتوانرێت بۆ پێناسەی ھەموو شتێکی ماتماتیکی بەکار ببردرێت. توێژینەوە نوێکان، سەبارەت بە تیۆریی کۆمەڵەکان لەلایەن گیۆرگ کانتۆر و ڕیچارد دێدێکیند لە دەیەی حەفتای سەدەی ھەژدەھەمی زایینی دەستی پێ کرد. دوای دۆزینەوەی پارادۆکسەکانی تیۆریی سروشتی کۆمەڵەکان، کۆمەڵێک سیستمی بەڵگەنەویستی لە سەرەتاکانی سەدەی بیستەم پێشکەش کرا کە بەناوبانگترینیان بریتین لە بەڵگەنەویستی زرملۆ-فرانکێل و بەڵگەنەویستی ھەڵبژاردن. توێژینەوە ھاوچەرخەکان، سەبارەت بە تیۆریی کۆمەڵەکان زۆر بابەتی جیاواز لەخۆ دەگریت لە پێکھاتەی ھێڵی ژمارە ڕاستەقینەکان بگرە ھەتا تاوتوێکردنی ھاوئاھەنگیی ژمارە گەورەکان.

تیۆریی کۆمەڵەکان بە پەیوەندییەکی دوانی نێوان شتێک وەکوو $o$ و کۆمەڵێک وەکوو $A$ دەست پێ دەکات. کاتێک $o$ ئەندامێکی کۆمەڵی $A$ بێت، بە زمانی بیرکاری بەم شێوە دەریدەبڕن $o \in A$ . کاتێک ھەموو ئەندامانی $A$ ئەندامی کۆمەڵی $B$ بن، $A$ ژێرکۆمەڵێکی $B$ یە، کە بە زمانی بیرکاری بەم شێوە $A \subseteq B$ ھێما دەکرێت. بۆ نموونە، ‏{١، ٢}‎ ژێرکۆمەڵێکی کۆمەڵەی ‏{١، ٢، ٣}‎یە. بەڵام ‏{١، ٤}‎ ژێرکۆمەڵێکی ئەم کۆمەڵە نییە.

کردارەکان لەسەر کۆمەڵەکان، لە تیۆریی کۆمەڵەکاندا، ھاوشێوەی کردارەکان لەسەر ژمارەکانە لە ژمێرەی جیاکاری و تەواوکاریدا.

یەکگرتن^[1] کاتێک $A$ و $B$ ، دوو کۆمەڵە بن، دەتوانن پێکەوە کۆ بکرێنەوە، کۆمەڵەی $A \cup B$ ، کۆمەڵەی ھەموو ئەو شتانەیە کە یان ئەندامی کۆمەڵی $A$ ن، یان ئەندامی کۆمەڵی $B$ یان ئەندامی ھەردووک لەو دوو کۆمەڵەن. بۆ نموونە یەکگرتن یان یەکێتیی ‏{١، ٢، ٣}‎ و ‏{٢، ٣، ٤}‎ دەکاتە کۆمەڵەی ‏{١، ٢، ٣، ٤}‎.

ھەندێک لە تایبەتمەندییە بنەڕەتییەکانی یەکگرتن بریتیین لە:

A ∪ B = B ∪ A.
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
A ⊆ (A ∪ B).
A ∪ A = A.
A ∪ U = U.
A ∪ ∅ = A.
A ⊆ B ئەگەر و تەنھا ئەگەر A ∪ B = B.

یەکتربڕینی^[2] $A$ و $B$ ، بەم شێوە $A \cap B$ ھێما دەکرێت، و کۆمەڵەی ھەموو ئەو شتانەیە کە ھەم ئەندامی کۆمەڵی $A$ ن و ھەم ئەندامی کۆمەڵی $B$ .

بۆ نموونە یەکتربڕینی ‏{١، ٢، ٣}‎ و ‏{٢، ٣، ٤}‎ دەکاتە کۆمەڵەی ‏{٢، ٣}‎.

ھەندێک لە تایبەتمەندییە بنەڕەتییەکانی یەکتربڕین بریتیین لە:

A ∩ B = B ∩ A.
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
A ∩ B ⊆ A.
A ∩ A = A.
A ∩ U = A.
A ∩ ∅ = ∅.
A ⊆ B ئەگەر و تەنھا ئەگەر A ∩ B = A.

لێکدانی دێکارتی $A$ و $B$ ، بریتییە لە $A \times B$ و کۆمەڵێکە ئەندامەکانی ھەموو ئەو جووتەڕێکخراوانە لەخۆ دەگریت $(a, b)$ کە تێیدا $a$ ئەندامێکی کۆمەڵی $A$ و $b$ ئەندامێکە لە کۆمەڵی $B$ . بۆ نموونە لێکدانی دێکارتی دوو کۆمەڵەی {١، ٢} و {سوور، سەوز} دەکاتە کۆمەڵەی {(سوور،١)، (سوور، ٢)، (سەوز، ٢)، (سەوز، ١)}.