From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques, una σ-àlgebra (dita sigma-àlgebra) o tribu sobre un conjunt Ω és una col·lecció no buida Σ de subconjunts de Ω que és tancada sota operacions numerables d'unió, intersecció i complementació de conjunts. Una σ-àlgebra és de fet una àlgebra booleana, completada a fi d'incloure un infinit numerable d'operacions. El concepte de σ-àlgebra és essencial per a poder definir mesures en Σ, amb les quals es pot assignar un nombre real als diferents subconjunts d'un determinat conjunt. El concepte de mesura, a la vegada, és fonamental en anàlisi i en la teoria moderna de probabilitat.
Sigui Ω un conjunt no buit, i sigui Σ una col·lecció de subconjunts de Ω. Diem que Σ és una σ-àlgebra si es compleix:
En altres paraules, una col·lecció Σ de subconjunts de Ω és una σ-àlgebra si:
Exemple
Sigui Ω un conjunt qualsevol. Les següents són σ-àlgebres en Ω:
Les σ-àlgebres són necessàries per definir mesures sobre un conjunt. Una mesura en Ω és una funció que assigna un nombre real als subconjunts de Ω. Es pot pensar en la mesura com la noció precisa de grandària o volum aplicada a conjunts. D'entrada semblaria possible assignar un volum a cadascun dels subconjunts de Ω; ara bé, l'axioma d'elecció implica que, quan la mesura que considerem és la longitud estàndard per als subconjunts de la recta real (la mesura de Lebesgue), existeixen uns conjunts anomenats conjunts de Vitali pels quals no existeix una mesura. És per aquesta raó que es considera una col·lecció més petita de subconjunts privilegiats de Ω, pels quals la mesura sí que està ben definida; aquests subconjunts constitueixen la σ-algebra.
Els elements de la σ-àlgebra s'anomenen conjunts Σ-mesurables (o simplement conjunts mesurables quan no hi ha ambigüitat sobre la col·lecció Σ de què es parla). Un parell ordenat (Ω,Σ), on Ω és un conjunt i Σ és una σ-àlgebra sobre Ω, s'anomena espai mesurable.
Una funció entre dos espais mesurables s'anomena mesurable si l'antiimatge de cada conjunt mesurable és també un conjunt mesurable; és a dir, si (Ω,Σ) i (Ω',Σ') són dos espais mesurables, una funció f: Ω ⟶Ω' és mesurable si i només si per a tot E∈ Σ', f-1(E) ∈ Σ.
Si U és una col·lecció qualsevol de subconjunts de Ω, podem obtenir una σ-àlgebra a partir de U, denotada per σ(U) i anomenada la σ-àlgebra generada per U. Es construeix com segueix. D'entrada cal remarcar que existeix una σ-àlgebra en Ω que conté la col·lecció U, l'àlgebra del conjunt de les parts de Ω. Sigui Φ la família de σ-àlgebres en Ω que contenen U (és a dir, una σ-àlgebra Σ en Ω pertany a Φ si i només si U és un subconjunt de Σ). Llavors definim σ(U) com la intersecció de totes les σ-àlgebres de Φ. La σ-àlgebra generada per U, σ(U), és doncs la σ-àlgebra en Ω més petita possible que conté U; els seus elements són tots els conjunts que es poden obtenir a partir d'elements de U fent servir les operacions d'interesecció numerable, reunió numerables, i pas al complementari.
Exemples
Un exemple important d'àlgebra generada és l'àlgebra de Borel sobre qualsevol espai topològic: es tracta de la σ-àlgebra generada pels conjunts oberts (o, de manera equivalent, pels conjunts tancats). Cal remarcar que aquesta àlgebra no és, en general, el conjunt de les parts. Vegeu el conjunt de Vitali per a un exemple no-trivial.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.