Espai de mesura

Un espai de mesura és un conjunt per al qual s'ha definit una σ-àlgebra de conjunts mesurables i una funció mesura concreta que assigna un valor real o mesura a cada element de la σ-àlgebra.^[1] Un exemple important d'espai de mesura és l'espai de probabilitat.

Un espai mesurable consisteix en els dos primers components sense una mesura específica.

Definició

Un espai de mesura és un triplet ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu ),}$ on^[2][3]

• ${\displaystyle X}$ és un conjunt
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ és una σ-algebra en el conjunt ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \mu }$ és una mesura en ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$

En altres paraules, un espai de mesura consisteix en un espai mesurable ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ juntament amb una mesura definit en aquest espai.

Exemples

• La tripleta ${\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}},\lambda )}$ on ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ és el conjunt dels nombres reals, ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {B}}}$ la σ-àlgebra boreliana i ${\displaystyle \lambda }$ la mesura de Lebesgue basada en la longitud dels intervals, constitueixen un espai de mesura.
• Un espai probabilístic és un cas particular d'espai de mesura, on el conjunt de referència té mesura 1, i els conjunts mesurables, anomenats esdeveniments, tenen una mesura o "mida" finita, donada per la seva probabilitat.

Classes importants d'espais de mesura

Les classes més importants d'espais de mesura són definides per les propietats de les seves mesures associades. Això inclou

• Els espais de probabilitat, espais de mesura on la mesura és una mesura de probabilitat^[2]
• Espais de mesura finita, on la mesura és una mesura finita^[4]
• Espais de mesura ${\displaystyle \sigma }$-finita, on la mesura és una mesura ${\displaystyle \sigma }$-finita^[4]

Una altra classe d'espais de mesura són els espais de mesura completa.^[5]

Vegeu també: Teoria de la mesura

Referències

1. «Espai de mesura». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
2. Kosorok, Michael R.. Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference. Nova York: Springer, 2008, p. 83. ISBN 978-0-387-74977-8.
3. Klenke, Achim. Probability Theory. Berlín: Springer, 2008, p. 18. DOI 10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
4. Plantilla:SpringerEOM
5. Klenke, Achim. Probability Theory. Berlín: Springer, 2008, p. 33. DOI 10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.