Topologia grollera

En matemàtiques, s'anomena topologia grollera (sovint anomenada també topologia gruixuda, topologia trivial o topologia indiscreta) a aquella topologia tal que els seus únics oberts són el conjunt buit i el propi espai. És la topologia amb menys oberts que es pot definir sobre qualsevol espai.^[1]

Propietats

Degut a la seva simplicitat se'n poden demostrar fàcilment moltes propietats. Per tot X espai topològic sobre un conjunt C amb la topologia grollera:^[2]

• Els seus únics tancats són també el conjunt buit i tot l'espai.
• L'interior de tot subconjunt de X diferent de X és buit.
• La clausura de tot subconjunt no buit de X és tot l'espai.
• X és connex (té una única component connexa, el propi espai) i arc-connex.
• X és compacte, paracompacte, localment compacte.
• X és Lindelöf i Baire.
• X només admet com a base {X}
• Sobre un conjunt de dos elements o més, l'espai topològic que en resulta no és de Kolmogórov (T₀) i, per tant, tampoc Fréchet, Hausdorff ni cap altre T_n.
• X és normal, regular, completament normal i completament regular.
• X compleix el primer i el segon axioma de numerabilitat.
• Tots els subespais i tots els espais quaocients de X hereten la topologia grollera.
• Tot subconjunt no buit de X és dens en X.
• Sigui A un subconjunt no buit de X.
  • Si A té un sol element, tots els punts de X\A fan frontera amb A.
  • Altrament, tots els punts de X fan frontera amb A.
• Sigui Y un espai topològic sobre D amb la topologia grollera. Aleshores X i Y són homeomorfs si i només si C i D tenen la mateixa cardinalitat.
• La topologia quocient per tot espai quocient de X és també grollera.

Referències

1. Weisstein, Eric W., «Trivial Topology» a MathWorld (en anglès).
2. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr.. Counterexamples in Topology. Dover reprint of 1978. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995. ISBN 978-0-486-68735-3.

Vegeu també

• Topologia discreta