En matemàtiques, el teorema Borsuk-Ulam afirma que qualsevol funció contínua d'una n-esfera a l'espai euclidià de dimensió n fa correspondre algun parell de punts antipodals al mateix punt.
(Dos punts en una esfera s'anomenen antipodals si són exactament en direccions oposades des del centre de l'esfera.)
El cas n = 2 sovint s'il·lustra dient que a qualsevol moment que hi ha sempre un parell de punts antipodals a la superfície de la Terra amb temperatures iguals i pressions baromètriques iguals. Això suposa que la temperatura i la pressió baromètrica varien contínuament.
Stanisław Ulam va ser el primer a conjecturar el teorema i va ser demostrat per Karol Borsuk el 1933.
Hi ha una demostració elemental que el teorema de Borsuk-Ulam implica el Teorema del punt fix de Brouwer.[1]
Una afirmació més forta relativa al teorema Borsuk-Ulam és que totes les funcions que preserven les antípodes
tenen grau senar.
Corol·laris
- Cap subconjunt de ℝn és homeomorf a Sn.
- El Teorema de Lusternik-Schnirelmann: Si l'esfera Sn és recoberta per n+1 conjunts oberts, llavors un d'aquests conjunts conté un parell (x, −x) de punts antipodals. (això és equivalent al teorema de Borsuk-Ulam)
- El Teorema de sandvitx de pernil: Per a qualssevol conjunts compactes en ℝn sempre es pot trobar un hiperplà que divideix cadascun d'ells en dos subconjunts de mesura igual.
Referències
Bibliografia
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
