Prismatoide

En geometria, un prismatoide és un políedre els vèrtexs del qual es troben en dos plans paral·lels. Els prismatoides inclouen les piràmides i els prismes.

Exemples

Hi ha diverses famílies infinites de prismatoides. Aquí se'n enumeren les més habituals.

Piràmide

prisma

Antiprisma

Prisma estelat

Cúpula

Tronc de piràmide

• Una piràmide té una cara anomenada base i un vèrtex en un pla diferent connectat a la base a través de cares triangulars.
• Un prisma té dues cares congruents que pertanyen a dos plans paral·lels, i estan connectades per paral·lelograms laterals.
• Un antiprisma és similar al prisma: té dues cares congruents sobre dos plans paral·lels, però connectades per triangles.
• Un prisma estelat o un antiprisma estelat es defineix de forma anàloga: però les dues cares són polígons estelats.
• Una cúpula té dues cares no congruents, connectades per rectangles i triangles.
• Un tronc de piràmide té dues cares no congruents però semblants, connectades per trapezis.

Volum

Hi ha una fórmula per al càlcul del volum que val per tots els prismatoides.

Els vèrtexs d'un prismatoide jauen sobre dos plans paral·lels ${\displaystyle P_{1}}$ i ${\displaystyle P_{3}}$. Sia ${\displaystyle P_{2}}$ el pla paral·lel que està a mig camí entre ${\displaystyle P_{1}}$ i ${\displaystyle P_{3}}$. Cada un dels ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$ interseca el prismatoide en un polígon, un segmento o un punto (el pla intermedi ${\displaystyle P_{2}}$ interseca el prismatoide necessàriament en un polígon). Siguin ${\displaystyle A_{1},A_{2},A_{3}}$ les àrees d'aquestes interseccions (zero si és un segment o un punt, positiva si és un polígon).

Sia ${\displaystyle h}$l'açada del prismatoide, és a dir la distància entre els dos plans ${\displaystyle P_{1}}$ i ${\displaystyle P_{3}}$.

El volum d'un prismatoide és igual a

${\displaystyle V=h{\frac {A_{1}+4A_{2}+A_{3}}{6}}.}$

Simetria

Tret de rares excepcions, els prismatoides tenen generalment com a molt un eix de simetria (ortogonal als plans paral·lels), i el seu grup de simetria és cíclic (${\displaystyle C_{n}}$) o dièdric (${\displaystyle D_{n}}$), de forma similar al que passa amb el grup de simetria d'un polígon al pla.

Entre les excepcions hi ha alguns políedres esporàdics: entre ells, el tetràedre regular, el cub i l'octàedre regular.