Disjunció exclusiva

L'operador lògic disjunció exclusiva, també anomenat o exclusiva, simbolitzat com XOR, EOR, EXOR, ⊻ o ⊕ és un tipus de disjunció lògica de dos operands que és veritat si només un operand és veritat però no ambdós.^[1]

Diagrama de Venn per ${\displaystyle ~A\oplus B}$ ${\displaystyle ~\oplus ~}$ ${\displaystyle ~\Leftrightarrow ~}$

Diagrama de Venn per a ${\displaystyle ~A\oplus B\oplus C}$ ${\displaystyle ~\oplus ~}$ ${\displaystyle ~\Leftrightarrow ~}$

Equivalències, simplificació, i introducció

La disjunció exclusiva ${\displaystyle p\oplus q}$ es pot expressar en termes de conjunció lògica (${\displaystyle \wedge }$), disjunció lògica (${\displaystyle \lor }$), i negació (${\displaystyle \lnot }$) de la següent manera:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\oplus q&=&(p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)\end{matrix}}}$

La disjunció exclusiva ${\displaystyle p\oplus q}$ pot ser expressada de la següent manera:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\oplus q&=&\lnot (p\land q)\land (p\lor q)\end{matrix}}}$

Aquesta representació del XOR pot ser útil en la construcció d'un circuit o una xarxa, ja que només té un operador ${\displaystyle \lnot }$ i un nombre reduït d'operadors ${\displaystyle p\oplus q}$ i ${\displaystyle \lor }$. La prova d'aquesta identitat és la següent:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\oplus q&=&(p\land \lnot q)&\lor &(\lnot p\land q)\\&=&((p\land \lnot q)\lor \lnot p)&\land &((p\land \lnot q)\lor q)\\&=&((p\lor \lnot p)\land (\lnot q\lor \lnot p))&\land &((p\lor q)\land (\lnot q\lor q))\\&=&(\lnot p\lor \lnot q)&\land &(p\lor q)\\&=&\lnot (p\land q)&\land &(p\lor q)\end{matrix}}}$

De vegades és útil escriure ${\displaystyle p\oplus q}$ de les següents formes:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\oplus q&=&\lnot ((p\land q)\lor (\lnot p\land \lnot q))\end{matrix}}}$

Aquesta equivalència es pot establir mitjançant l'aplicació de les Lleis de De Morgan dues vegades per la quarta línia de la prova anterior.

Referències

1. Vegeu Stanford Encyclopedia of Philosophy, article Disjunction

Vegeu també

• Àlgebra booleana
• Porta lògica
• Disjunció lògica
• Conjunció lògica
• Operador a nivell de bits
• Funció booleana
• Lògica proposicional
• Modus tollendo ponens
• Lògica de primer ordre
• Valor de veritat
• Operació matemàtica
• Bit de paritat