From Wikipedia, the free encyclopedia
En matemàtiques, una matriu simplèctica és una matriu M 2n×2n a entrades reals que satisfà la condició
, |
|
( ) |
on MT denota la transposada de M, i Ω és una matriu invertible antisimètrica 2n×2n. Aquesta definició es pot ampliar a matrius 2n×2n amb entrades en altres cossos, com per exemple els complexos.
Típicament, s'escull Ω que sigui la matriu per blocs
on In és la matriu identitat n×n. La matriu Ω té determinant +1 i la seva inversa és Ω−1 = ΩT = −Ω.
Tota matriu simplèctica té determinant unitat, i les matrius simplèctiques 2n×2n a entrades reals formen un subgrup del grup lineal especial SL(2n, R) amb el producte de matrius, en concret un grup de Lie real connex no compacte de dimensió real n(2n + 1), el grup simplèctic Sp(2n, R). El grup simplèctic es pot definir com el conjunt de transformacions lineals que conserven la forma simplèctica d'un espai vectorial simplèctic real.
Un exemple d'un grup de matrius simplèctiques és el grup de les tres matrius simplèctiques 2×2 constents de la matriu identitat, la matriu triangular superior i la matriu triangular inferior, totes amb entrades 0 i 1.
Tota matriu simplèctica és invertible, i la matriu inversa ve donada per
Addicionalment, el producte de dues matrius simplèctiques és de nou, una matriu simplèctica. Això fa que el conjunt de totes les matrius simplèctiques tingui una estructura de grup. Existeix una estructura natural de varietat, el que fa que aquest grup esdevingui un grup de Lie (real o complex), anomenat grup simplèctic.
A partir de la definició, és fàcil veure que el determinant de qualsevol matriu simplèctica és ±1. De fet, el determinant sempre és +1. Una manera de veure-ho és utilitzar el pfaffià[nota 1] i la identitat
Com que i , tenim que det(M) = 1.
Suposem que Ω està donada en forma estàndard, i sigui M una matriu per blocs 2n×2n donada per
on A, B, C, D són matrius n×n. La condició que M sigui simplèctica és equivalent a les condicions
Quan n = 1, aquestes condicions es redueixen a det(M) = 1. Per tant, una matriu 2×2 és simplèctica si i només si té determinant unitari.
Amb Ω en forma estàndard, la inversa de M ve donada per
El grup té dimensió n(2n + 1). Això es pot veure notant que la condició de grup implica que
això dona equacions de la forma
on és l'i,j-sim element de M. La suma és antisimètrica respecte als índexs i,j, i com que el primer membre és 0 quan i és diferent de j, això deixa n(2n-1) equacions independents.
En la formulació abstracta de l'àlgebra lineal, hom substitueix les matrius per transformacions lineals d'espais vectorials de dimensió finita. L'anàleg abstracte d'una matriu simplèctica és una transformació simplèctica d'un espai vectorial simplèctic. Breument, un espai vectorial simplèctic és un espai vectorial V de dimensió 2n equipat amb una forma bilineal ω antisimètrica i no degenerada, anomenada forma simplèctica.
Una transformació simplèctica és, doncs, una transformació lineal L : V → V que conserva ω, és a dir,
Si es fixa una base de V, hom pot escriure ω com una matriu Ω i L com una matriu M. La condició de què L sigui una transformació simplèctica es tradueix, precisament, en què M sigui una matriu simplèctica:
En el cas d'un canvi de base, representat per una matriu A, tenim
Sempre es pot fer que Ω torni a la forma estàndard vista a la introducció o a la forma diagonal per blocs mitjançant una elecció adequada de A.
Les matrius simplèctiques es defineixen en relació a una matriu antisimètrica invertible Ω fixada. Com s'ha vist en la secció anterior, es pot interpretar que Ω és una representació en coordenades d'una forma bilineal antisimètrica no degenerada. Un resultat bàsic d'àlgebra lineal estableix que dues matrius qualssevol d'aquestes característiques difereixen l'una de l'altra només per un canvi de base.
L'alternativa més freqüent a la forma estàndard de Ω és la forma diagonal per blocs
Aquesta elecció només difereix de l'anterior en una permutació dels vectors de la base.
De vegades s'utilitza la notació J en comptes de Ω per a la matriu antisimètrica. Això resulta ser una notació desafortunada, ja que pot portar a confusió amb la noció d'una estructura complexa, que acostuma a tenir la mateixa expressió en coordenades que Ω però representa una estructura ben diferent. Una estructura complexa J és la representació en coordenades d'una transformació lineal el quadrat de la qual és −1, mentre que Ω és la representació en coordenades d'una forma bilineal antisimètrica no degenerada. Hom podria escollir fàcilment bases en les quals J no fos antisimètrica o Ω no tingués quadrat igual a −1.
Donada una estructura hermítica sobre un espai vectorial, J i Ω estan relacionades per
on és la mètrica. El fet que J i Ω acostumin a tenir la mateixa representació en coordenades (llevat de signe) és una conseqüència del fet que, habitualment, la mètrica g és la matriu identitat.
Si M és una matriu de dimensió 2n×2n a entrades complexes (en comptes de reals, com a la introducció), la definició no és uniforme en la literatura. Molts autors[3] ajusten la definició anterior a
. |
|
( ) |
on M* denota la matriu transposada conjugada de M. En aquest cas, el determinant pot no ser 1, però sempre té valor absolut 1. En el cas 2×2 (n=1), M és el producte d'una matriu simplèctica real i un nombre complex de valor absolut 1.
Altres autors[4] mantenen la definició (1) per a matrius complexes i anomenen simplèctiques conjugades a les matrius que satisfan (2).
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.