Remove ads
From Wikipedia, the free encyclopedia
La conjectura de Singmaster és una conjectura de la teoria de nombres que porta el nom del matemàtic britànic David Singmaster, que la va proposar el 1971. Postula que hi ha una fita superior finita en la multiplicitat dels enters del triangle de Pascal majors de 1. L'únic nombre que apareix infinites vegades al triangle és 1, perquè cada nombre x superior de 1 pot aparèixer només fins a les fila x + 1 del triangle.[1]
Concretament es postula que, sigui el nombre de vegades que apareix un nombre al triangle de Pascal, es compleix que, en notació de Landau:
Singmaster va mostrar que[1]
Posteriorment, Abbott, Erdős i Hanson van redefinir l'estimació a:[2]
El millor límit conegut (no condicional) és[3]
però també es pot descriure de forma condicional relacionant-lo amb la conjectura de Cramér, de tal manera que
és vàlid per tot .
Singmaster també va mostrar que l'equació diofàntica
té infinites solucions per les dues variables n, k.[4] D'això es dedueix que hi ha infinits valors al triangle amb multiplicitat de com a mínim 6; per qualsevol valor positiu i, un nombre que aparegui 6 cops al triangle de Pascal ve donada per qualsevol de les dues expressions anteriors amb
on és el nombre amb índex j a la successió de Fibonacci (indexat segons el conveni F0 = 0, F1 = 1). Les dues expressions anteriors localitzen dues de les aparicions; dues altres apareixen simètricament al triangle respecte d'aquestes dues; i les altres dues aparicions són a i
Es coneix el límit de vegades que apareixen alguns nombres concrets.[4][2]
No es coneix si hi ha cap nombre que aparegui més de vuit cops, ni tampoc si n'hi ha cap altre a part de 3003 que aparegui tantes vegades.[3] Per tant, la fita superior podria ser 8, però Singmaster va deixar oberta la possibilitat que siguin 10 o 12.
Tampoc es sap si hi ha algun nombre que aparegui exactament cinc o set cops.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.